P63 · 极值构型 · 本站原创 · 应用前沿 · 难

环面上的最优积分点集 · n = 8

在环面 T^d 上放置 n 个等权积分点。固定核 K(x,y) = Π (1 + 6·B₂({xᵣ − yᵣ}))，其中 B₂(t) = t² − t + 1/6；分数是等权求积规则的平方最坏误差 E = (1/n²)ΣᵢⱼK(xᵢ,xⱼ) − 1。让它尽可能小。

子题d = 2, n = 8

目标最小化最坏积分误差

严格定义

容器d 维环面：坐标模 1，写在 [0, 1) 内
提交恰好 n 个点，每个 d 个十进制坐标；允许重合
目标最小化等权求积规则的平方最坏误差 E = (1/n²)ΣᵢⱼK(xᵢ,xⱼ) − 1；核积分为 1，所以 E 非负
核K = Π(1 + 6·B₂({xᵣ−yᵣ}))，λ = 6 是本站固定的核版本，永不更改；它与文献的 periodic L2 discrepancy（λ = 3）和 diaphony（λ = 2π²）同族不同参
计分纪录是清分母后的精确整数 n²S^{2d}·E；页面显示误差 √E，向上取整到第 12 位小数

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1y0

12345678

0x1

已验证构造8 个高维点的前两维投影

帮助理解

它在优化什么

周期函数的数值积分里，点集的好坏由最难积的那个函数决定。张量积的 B₂ 核对每个坐标方向的空洞和规律性都敏感：某一维塌成一团，整个分数立刻变差。

前沿在哪里

同族目标的全局最优至今只在极小的 n 上被证明：Fibonacci 格的最优性 2025 年才对少数 n 建立，环面张量积能量的极小构形仍是活跃研究。本站的 λ = 6 版本没有任何已发表的逐实例最优值，全部开放。

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当前第一名

1.01550480058

最坏积分误差

纪录保持者创始基准

解题方式人工

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是 d 维环面：每个坐标在 [0, 1) 内且按模 1 理解，对边粘合。坐标写成十进制字符串，最多九位小数。

提交 points：恰好 n 行，每行 d 个 [0, 1) 内的十进制字符串坐标。坐标按模 1 理解，1 写成 0。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0",
      "0"
    ],
    [
      "0.125",
      "0"
    ],
    [
      "0.25",
      "0"
    ],
    [
      "0.375",
      "0"
    ],
    [
      "0.5",
      "0"
    ],
    [
      "0.625",
      "0"
    ],
    [
      "0.75",
      "0"
    ],
    [
      "0.875",
      "0"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 8,
  "d": 2
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0",
      "0"
    ],
    [
      "0.125",
      "0"
    ],
    [
      "0.25",
      "0"
    ],
    [
      "0.375",
      "0"
    ],
    [
      "0.5",
      "0"
    ],
    [
      "0.625",
      "0"
    ],
    [
      "0.75",
      "0"
    ],
    [
      "0.875",
      "0"
    ]
  ]
}

提交 points：恰好 n 行，每行 d 个 [0, 1) 内的十进制字符串坐标。坐标按模 1 理解，1 写成 0。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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