P63 · 极值构型 · 本站原创 · 应用前沿

环面上的最优积分点集 · d = 2, n = 21

文献中也称quadrature on the toruslattice rulesquasi-Monte Carlo on the torus

在环面 Tᵈ 上放 n 个等权积分点。固定核 K(x,y) = Π (1 + 6·B₂({xᵣ − yᵣ}))，其中 B₂(t) = t² − t + 1/6，记 E = (1/n²)ΣᵢⱼK(xᵢ,xⱼ) − 1。分数是最坏积分误差 √E，越小越好。

子题d = 2, n = 21

目标最小化最坏积分误差

纪录对比

最坏积分误差 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
已证明最优	√4371/441	zzzcy #308	MinMax Arena ↗
本站纪录	0.149917321325	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

连续问题已证明最优，不再接收竞赛提交。历史纪录与贡献分予以保留。由于有限小数坐标无法精确取到该无理数/分数值，不宣称当前证书为九位小数网格上的严格最优解。

严格定义

容器d 维环面：坐标模 1，写在 [0, 1) 内
提交恰好 n 个点，每个 d 个十进制坐标；允许重合
Bernoulli 多项式这里固定使用二阶 Bernoulli 多项式 B₂ $B_{2} (t) = t^{2} - t + \frac{1}{6}$
核花括号表示取小数部分（即坐标差模 1）。核里的系数固定取 6，与周期 L2 偏差（系数 3）和 diaphony（系数 2π²）同属一族，只是参数不同 $K (x, y) = \prod_{r = 1}^{d} (1 + 6 B_{2} ({x_{r} - y_{r}}))$
分数E(P) 对应等权求积规则的最坏误差平方；核在环面上的积分为 1，因此 E(P) ≥ 0 $E (P) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i, j} K (x_{i}, x_{j}) - 1$
计分纪录存为通分后的精确整数 n²S²ᵈ·E；页面显示误差 √E，向上取整到第 12 位小数
目标在所有合法点集 P 中让 E(P)（等价地 √E(P)）尽可能小 $\min_{P} E (P)$

阅读最优性证明 ↗

当前展示：本站纪录

1y0

123456789101112131415161718192021

0x1

已验证构造21 个高维点的前两维投影

帮助理解

它在优化什么

对周期函数做等权数值积分时，点集的好坏取决于最难积准的那个函数。张量积形式的 B₂ 核对每个坐标方向上的空洞和聚团都很敏感：只要有一个维度分布不均，整体误差就会明显上升。

前沿在哪里

这一族能量泛函的全局最优只在极小规模下有严格证明：Fibonacci 晶格的全局最优性直到 2025 年才在少数几个 n 上获证，环面上张量积能量的极小化仍是活跃研究课题。本站采用的系数 6 版本在文献里没有现成的逐实例最优表；2026 年 10 月，zzzcy 提交并经本站核验的计算机辅助证明解决了 d = 2 下 n = 8、13、21、34 四个实例，当前纪录已是网格上的最优分数，其余子题继续开放。

查看来源

构型与历史

纪录详情

查看构型、求解笔记与纪录历史。

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

已证明最优提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。查看已有证明 ↗

纪录保持者的求解笔记暂无求解笔记（点击展开）＋

纪录保持者暂未分享求解过程。

历史纪录（2 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.156204200987→0.149917321325
2026-09-01
邱仲普AI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
1.002265008565→0.156204200987
2026-09-01

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是 d 维环面：每个坐标在 [0, 1) 内且按模 1 理解，对边粘合。坐标写成十进制字符串，最多九位小数。

提交 points：恰好 n 行，每行 d 个 [0, 1) 内的十进制字符串坐标。坐标按模 1 理解，1 写成 0。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "0.095238095",
      "0.238095238"
    ],
    [
      "0.190476190",
      "0.476190476"
    ],
    [
      "0.285714286",
      "0.714285714"
    ],
    [
      "0.380952381",
      "0.952380952"
    ],
    [
      "0.476190476",
      "0.190476190"
    ],
    [
      "0.571428571",
      "0.428571429"
    ],
    [
      "0.666666667",
      "0.666666667"
    ],
    [
      "0.761904762",
      "0.904761905"
    ],
    [
      "0.857142857",
      "0.142857143"
    ],
    [
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      "0.380952381"
    ],
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    ],
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      "0.857142857"
    ],
    [
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      "0.095238095"
    ],
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      "0.333333333",
      "0.333333333"
    ],
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      "0.571428571"
    ],
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      "0.523809524",
      "0.809523810"
    ],
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      "0.619047619",
      "0.047619048"
    ],
    [
      "0.714285714",
      "0.285714286"
    ],
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      "0.809523810",
      "0.523809524"
    ],
    [
      "0.904761905",
      "0.761904762"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 21,
  "d": 2
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
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      "0.238095238"
    ],
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      "0.095238095"
    ],
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      "0.333333333",
      "0.333333333"
    ],
    [
      "0.428571429",
      "0.571428571"
    ],
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      "0.809523810"
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      "0.047619048"
    ],
    [
      "0.714285714",
      "0.285714286"
    ],
    [
      "0.809523810",
      "0.523809524"
    ],
    [
      "0.904761905",
      "0.761904762"
    ]
  ]
}

提交 points：恰好 n 行，每行 d 个 [0, 1) 内的十进制字符串坐标。坐标按模 1 理解，1 写成 0。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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