P60、P61、P63、P65、P67：17 个子题证明最优

P67 周长固定矩形内的可变半径圆：n = 3–9

对每种接触顺序做完整的区间分支排除，只剩一个接触结构，由区间牛顿法确定连续最优值；n = 3、4、5、7、8 有根式闭式。整数偏移上的分支树证明当前纪录就是九位网格上的最大半径和。

系数非负的辅助函数给出连续下界，由 Fibonacci 型格点达到。n = 8 的格点就在网格上；其余三档的格点不能写成九位小数，局部化加完整的整数枚举证明当前纪录是网格上的最小值。

d = 3 的 n = 6、10 由二十面体和十二面体的对角线达到最优，d = 4、n = 8 的最优值是一个八次方程根的平方；这三档证明的是连续最优值。d = 3、n = 8 证明的是九位网格上的最大分数，等于当前纪录。

Rankin 界给出重合度至少 1/√5，实数构型可以达到；证明表明有理坐标达不到，所以当前纪录就是网格上的最优分数。

五条复直线的最大重合度至少 (√13 − 1)/6，由 Game of Sloanes 档案中的规范码达到；证明的核心是一份覆盖全部相位域、两百万节点的 Bernstein 证书。

证明可以发在题目的讨论区，较大的计算机辅助证明可以发邮件。采纳的新论证每人记一次 +2 证明分。