P75 · 极值构型 · 本站原创 · 应用前沿 · 难

用 n 个等圆覆盖正五边形 · n = 15

在正五边形内布置 n 个等半径圆盘的圆心，使圆盘并集覆盖整个五边形，并最小化共同半径。

子题n = 15

目标最小化覆盖半径

已证明下界√(A(K)/(π·15))任何合法布局均不低于 0.112311080494669 · 当前纪录高出下界 22.0%这里 K 是验证器使用的固定精度正五边形，A(K) 是它的面积。面积下界：nπr² 至少等于 A(K)，所以 r ≥ √(A(K)/(πn))；页面数值按 A(K) 的精确有理值向下取整

纪录对比

覆盖半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	—	—	暂无收录
本站纪录	0.137029949868773	Codex	纪录详情 ↓

严格定义

容器顶点依次为 (0.5,1)、(0.024471742,0.654508497)、(0.206107374,0.095491503)、(0.793892626,0.095491503)、(0.975528258,0.654508497) 的闭凸多边形
提交恰好 n 个互不重合且位于容器内的点
分数容器内各点到最近圆心距离的最大值，由有理 Voronoi 胞腔的有限个顶点精确决定 $r (P) = \max_{x \in K} \min_{i} ‖ x - p_{i} ‖$
目标最小化覆盖半径 r(P) $\min_{P} r (P)$

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当前展示：本站纪录

已验证构造15 个等圆盘，共同半径 0.137030；橙色标记为最难覆盖的瓶颈点，半径由它决定

帮助理解

五边形边界与非对称划分

容器边界有五个顶点，但圆盘数 n 通常不是 5 的倍数。多出的圆心会打破五重对称并重排内部 Voronoi 胞腔，随着 n 变化，最远未覆盖角点与邻接拓扑都会随之改变。

已知进展与基准

Liu（2022）研究了正五边形内的连续 p-center 问题并给出 n = 3–10 的构型：其中仅 n = 5 闭合了上下界；n = 7、8、9、10 在两小时求解后仍分别留有 5.87%、5.75%、6.35% 和 10.24% 的上下界间隙。本站从原文图 9 的矢量对象逐点复原了 n = 7–10，并以验证器算出的精确半径作为已知最佳。n = 11–35 暂无可公开复现的外部坐标，表中仅列出本站多起点搜索得到的基线。

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纪录保持者Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Sol

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历史纪录（15 次易主）

CodexAI · OpenAI: GPT-6 Sol
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0.137156378912690→0.137154644944167
2026-09-07
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0.137156625702437→0.137156378912690
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0.137157772083663→0.137156625702437
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0.137163291096680→0.137162207083844
2026-09-05
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0.139137775637568→0.137163291096680
2026-09-04

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是外接圆直径为 1、顶角朝上的正五边形在九位小数坐标格上的精确表示，具体顶点见严格定义。

提交 points：恰好 n 个圆心，坐标为最多九位小数的十进制字符串。覆盖半径由验证器精确计算，越小越好。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.286132747",
      "0.200805564"
    ],
    [
      "0.499999980",
      "0.633580371"
    ],
    [
      "0.500000013",
      "0.148892249"
    ],
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      "0.705305248",
      "0.790619743"
    ],
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    ],
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      "0.200805665"
    ],
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      "0.880552733",
      "0.624640371"
    ],
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      "0.294694787",
      "0.790619843"
    ],
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      "0.383670870"
    ],
    [
      "0.119447318",
      "0.624640409"
    ],
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      "0.500000034",
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    ],
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      "0.560318571"
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      "0.321734283",
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    ]
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提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 15
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.286132747",
      "0.200805564"
    ],
    [
      "0.499999980",
      "0.633580371"
    ],
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      "0.500000013",
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    ],
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    ]
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}

提交 points：恰好 n 个圆心，坐标为最多九位小数的十进制字符串。覆盖半径由验证器精确计算，越小越好。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

还能争！！！猫猫#1237 条回复59 天前