P03 · 极值构型 · 经典问题

Heilbronn 最小三角形面积

文献中也称Heilbronn triangle problemHeilbronn's problem in a square

在单位正方形内放置 n 个点，使任意三点构成的三角形中最小的那个面积尽可能大。

严格定义

容器单位正方形：左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)
提交恰好 n 个点 points，任意三点不共线
约束每个点都在正方形内或边界上
分数A(P) 是全部三点组中最小的三角形面积；内部以 2A(P) 精确比较 $A (P) = \frac{1}{2} \min_{1 \leq i < j < k \leq n} | \det (p_{j} - p_{i}, p_{k} - p_{i}) |$
目标让 A(P) 尽可能大

帮助理解

哪里有优化空间

把点撒得均匀并不够：任何三点都不能接近共线，而近共线恰恰是看起来整齐的排布最容易犯的错。最优构形往往不对称，连形状都难猜。

前沿在哪里

n = 5..9 已证明（Yang、Zhang、Zeng 与 Dress 等，1991–1995）；n ≥ 10 只有数值下界，最新的综述与构造见 arXiv:2603.11107。Goldberg (1972) 的构造长期是这一族的基准。

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逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

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当前纪录0.192450089729743335已证明最优 √3/9

当前纪录1/8

当前纪录0.083859008855033897已证明最优 0.083859008

1234567

答案来源参考答案

解题方式—

当前纪录0.07237642412866586已证明最优 (√13 − 1)/36

12345678

答案来源参考答案

解题方式—

当前纪录0.054875999031743604已证明最优 9√65/320 − 11/64

当前纪录0.046537419582125784

中

12345678910

纪录保持者小转风

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol Pro

n11

当前纪录0.037037036935185185

中

1234567891011

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

n12

当前纪录0.03259885858223028

中

123456789101112

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

n13

当前纪录0.027019916574198289

中

12345678910111213

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

n14

当前纪录0.024303979527662839

中

1234567891011121314

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

n15

当前纪录0.021210540906976616

中

123456789101112131415

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

n16

当前纪录0.02052785903714565

中

12345678910111213141516

纪录保持者lird

解题方式人工

引用与数据

这一题族的全部子题、权威分数、证明状态、坐标与来源，都在下面这个稳定地址里，以 CC BY 4.0 发布。分数会随纪录变化，引用时请一并记录文件里的 generatedAt。

GET https://minmaxarena.com/data/heilbronn-triangle.json

引用请指向 2026-09 冻结版：纪录会变，冻结版永远不变，所以引文十年后仍可核对。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-09/heilbronn-triangle.json

BibTeX（点开复制）

@misc{minmaxarena-heilbronn-triangle-2026-09,
  title  = {{Heilbronn minimum triangle area} (P03)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-09 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-09/heilbronn-triangle.json},
  license = {CC BY 4.0}
}

DISCUSSION

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