P03 · 极值构型 · 经典问题 · 中

Heilbronn 最小三角形面积 · n = 13

文献中也称Heilbronn triangle problemHeilbronn's problem in a square

在单位正方形内放置 n 个点，使任意三点所构成的最小三角形面积尽可能大。

子题n = 13

目标最大化最小三角形面积

纪录对比

最小三角形面积 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	—	—	暂无收录
本站纪录	0.027019916574198289	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

严格定义

容器单位正方形 [0, 1] × [0, 1]，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)
提交恰好 n 个点 points，任意三点不共线
约束每个点均位于单位正方形内部或边界上
分数A(P) 为所有三点组构成的最小三角形面积（验证器在内部通过精确比较有向面积绝对值 2A(P) 来判定高低） $A (P) = \frac{1}{2} \min_{1 \leq i < j < k \leq n} | \det (p_{j} - p_{i}, p_{k} - p_{i}) |$
目标最大化最小三角形面积 A(P)

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0x1

已验证构造最小的三角形

帮助理解

避免近共线三元组

仅让点与点之间的距离拉开并不能保证最小三角形面积大：只要有三个点接近共线，它们围成的三角形就会非常扁平、面积接近零。规则网格和对称排布往往天然包含大量共线或近共线三元组，因此优秀的构型大多是不对称的，且会有许多点落在正方形边界上。

已知证明与开放前沿

n = 5..9 的精确最优值已由 Yang、Zhang、Zeng 与 Dress 等人（1991–1995）证明；n ≥ 10 目前仅有数值构造下界，最新综述与构造可参见 arXiv:2603.11107，而 Goldberg (1972) 的经典构造曾长期作为基准。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（10 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.027019916571524295→0.027019916574198289
2026-09-03
Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.027019916570420287→0.027019916571524295
2026-09-02
Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.027019916492041086→0.027019916570420287
2026-09-02
TmrgAI · Z.ai: GLM 5.3
0.027019916403572393→0.027019916492041086
2026-08-27
TmrgAI · Z.ai: GLM 5.3
0.027019214064183709→0.027019916403572393
2026-08-27
TmrgAI · Z.ai: GLM 5.3
0.027019214059479742→0.027019214064183709
2026-08-27
TmrgAI · Z.ai: GLM 5.3
0.027019179792726069→0.027019214059479742
2026-08-27
lird人工
0.02701917976809976→0.027019179792726069
2026-08-27
TmrgAI · Z.ai: GLM 5.3
0.0230571353877564315→0.02701917976809976
2026-08-27
RJcxyAI · Google: Gemini 3.7 Flash
0.002958579849112426→0.0230571353877564315
2026-08-24

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)。坐标和长度用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交点集坐标 points，每个坐标均以十进制字符串表示（如 "0.5"）。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.964767765",
      "0.912368868"
    ],
    [
      "0.000000000",
      "0.000000001"
    ],
    [
      "0.896992263",
      "0.097468810"
    ],
    [
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    ],
    [
      "0.655287738",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "0.748535828",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "0.000000000",
      "0.900738299"
    ],
    [
      "1.000000000",
      "0.538648538"
    ],
    [
      "0.328522986",
      "0.366693407"
    ],
    [
      "0.087950516",
      "0.385565479"
    ],
    [
      "0.345077365",
      "0.098483871"
    ],
    [
      "0.087950516",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "0.500129515",
      "0.850754205"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 13
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.964767765",
      "0.912368868"
    ],
    [
      "0.000000000",
      "0.000000001"
    ],
    [
      "0.896992263",
      "0.097468810"
    ],
    [
      "0.761361485",
      "0.558015867"
    ],
    [
      "0.655287738",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "0.748535828",
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      "0.000000000",
      "0.900738299"
    ],
    [
      "1.000000000",
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    ],
    [
      "0.328522986",
      "0.366693407"
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    ]
  ]
}

提交点集坐标 points，每个坐标均以十进制字符串表示（如 "0.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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