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P03 · 极值构型 · 经典问题

Heilbronn 最小三角形面积 · n = 5

文献中也称Heilbronn triangle problemHeilbronn's problem in a square

在单位正方形内放置 n 个点，使任意三点所构成的最小三角形面积尽可能大。

子题n = 5
目标最大化 最小三角形面积

纪录对比

最小三角形面积 · 越大越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
已证明最优√3/9见来源署名arxiv.org ↗
本站纪录0.192450089729743335参考答案纪录详情 ↓

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已完成已有达到理论上限的公开解答，该子题已无竞争空间

严格定义

  • 容器单位正方形 [0, 1] × [0, 1]，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)
  • 提交恰好 n 个点 points，任意三点不共线
  • 约束每个点均位于单位正方形内部或边界上
  • 分数A(P) 为所有三点组构成的最小三角形面积（验证器在内部通过精确比较有向面积绝对值 2A(P) 来判定高低）A(P)=12min1≤i<j<k≤n|det(pj−pi,pk−pi)|
  • 目标最大化最小三角形面积 A(P)
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当前展示：本站纪录

1y0
0x1
已验证构造最小的三角形

帮助理解

避免近共线三元组

仅让点与点之间的距离拉开并不能保证最小三角形面积大：只要有三个点接近共线，它们围成的三角形就会非常扁平、面积接近零。规则网格和对称排布往往天然包含大量共线或近共线三元组，因此优秀的构型大多是不对称的，且会有许多点落在正方形边界上。

已知证明与开放前沿

n = 5..9 的精确最优值已由 Yang、Zhang、Zeng 与 Dress 等人（1991–1995）证明；n ≥ 10 目前仅有数值构造下界，最新综述与构造可参见 arXiv:2603.11107，而 Goldberg (1972) 的经典构造曾长期作为基准。

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Heilbronn 最小三角形面积 n = 5 的当前纪录构型，0.192450089729743335
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历史纪录（23 次易主）
  1. Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.1924500897255719045→0.192450089729743335
  2. Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.192450089718233512→0.1924500897255719045
  3. Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.192450089705705531→0.192450089718233512
  4. 公开文献人工
    0.192431612727415404→0.192450089705705531
  5. RJcxy人工
    0.1898058072152032→0.192431612727415404
  6. FT人工
    0.1897412909777557→0.1898058072152032
  7. FT人工
    0.189621966318206→0.1897412909777557
  8. Zrchedcxen人工
    0.187979611040238014→0.189621966318206
  9. xxx人工
    0.186870547470267613→0.187979611040238014
  10. xxx人工
    0.185734316612408607→0.186870547470267613
  11. Zrchedcxen人工
    0.176701810414769484→0.185734316612408607
  12. Zrchedcxen人工
    0.1766496683517080925→0.176701810414769484
  13. Eraser人工
    0.175403521146423756→0.1766496683517080925
  14. jiaya人工
    0.175366952319450481→0.175403521146423756
  15. jiaya人工
    0.175283999695641261→0.175366952319450481
  16. jiaya人工
    0.168590314268914264→0.175283999695641261
  17. jiaya人工
    0.167329942760149995→0.168590314268914264
  18. Eraser人工
    0.164291560073341701→0.167329942760149995
  19. jiaya人工
    0.15541704693→0.164291560073341701
  20. jiaya人工
    0.15534753983→0.15541704693
  21. jiaya人工
    0.155000003→0.15534753983
  22. yome人工
    0.155→0.155000003
  23. qwert人工
    0.02→0.155
ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)。坐标和长度用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交点集坐标 points，每个坐标均以十进制字符串表示（如 "0.5"）。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.000000000",
      "0.333333698"
    ],
    [
      "0.577350585",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "1.000000000",
      "0.422649415"
    ],
    [
      "0.666666302",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "0.000000000",
      "1.000000000"
    ]
  ]
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 5
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.000000000",
      "0.333333698"
    ],
    [
      "0.577350585",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "1.000000000",
      "0.422649415"
    ],
    [
      "0.666666302",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "0.000000000",
      "1.000000000"
    ]
  ]
}

提交点集坐标 points，每个坐标均以十进制字符串表示（如 "0.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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