P34 · 极值构型 · 经典问题

圆盘内的 Riesz 2-能量

文献中也称Riesz energy on a discRiesz s-energyminimum energy point configuration

在半径为 1 的圆盘内放置 n 个点，使所有点对的 1/距离² 之和尽可能小。

严格定义

容器半径为 1 的圆盘，圆心在 (1, 1)，横纵坐标范围均为 0 到 2
提交恰好 n 个点，两两不重合
约束每个点都在容器内或边界上
能量E₂(P) 为点集 P 的 Riesz 2-能量 $E_{2} (P) = \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac{1}{{‖ p_{i} - p_{j} ‖}^{2}}$
分数验证器将每个点对的能量按 10⁻⁹ 步长向上取整后求和，页面显示 score(P)/10⁹ $score (P) = \sum_{1 \leq i < j \leq n} ⌈ \frac{10^{9}}{{‖ p_{i} - p_{j} ‖}^{2}} ⌉$
目标最小化 score(P)；每个点对的向上取整误差不超过 10⁻⁹

帮助理解

结构特征

1/距离² 对近距离点对的排斥很强：当 n 较小时，点全部落在圆周上排成正多边形；随着 n 增大，部分点进入圆盘内部并形成同心环层。环层数量与各层点数会在特定的 n 处发生跃迁。

研究进展

一般理论见 Borodachov、Hardin 与 Saff (2019)。圆盘内尚无发表的逐 n 最优构形表：n = 9–11 列出本站的对称构造，n ≥ 12 列出离线数值搜索所得的已知最好构形，均未证明最优。此前收录的 n = 5–8 已下架，因为在圆周上取正 n 边形即给出闭式能量 n(n²−1)/24，没有进一步优化的余地。

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逐个 n 竞争

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n14

当前纪录100.460666267

难

1234567891011121314

纪录保持者condor

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n15

当前纪录120.47710836

难

123456789101112131415

纪录保持者condor

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n16

当前纪录143.473229848

难

12345678910111213141516

纪录保持者Sigmoid with Codex

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n17

当前纪录168.287351513

难

1234567891011121314151617

纪录保持者condor

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n18

当前纪录195.902060965

难

123456789101112131415161718

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

n19

当前纪录226.154902333

难

12345678910111213141516171819

纪录保持者邱仲普

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n20

当前纪录258.71908836

难

1234567891011121314151617181920

纪录保持者Sigmoid with Codex

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n21

当前纪录294.716263194

难

123456789101112131415161718192021

纪录保持者Sigmoid with Codex

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n22

当前纪录332.538663329

难

12345678910111213141516171819202122

纪录保持者Sigmoid with Codex

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n23

当前纪录371.987004054

难

1234567891011121314151617181920212223

纪录保持者condor

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n24

当前纪录415.308768853

难

123456789101112131415161718192021222324

纪录保持者Sigmoid with Codex

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引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

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引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/riesz-energy-in-a-disc.json

BibTeX（点击复制）

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  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
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