P34 · 极值构型 · 经典问题 · 难

圆盘内的 Riesz 2-能量 · n = 19

文献中也称Riesz energy on a discRiesz s-energyminimum energy point configuration

在半径为 1 的圆盘内放置 n 个点，使所有点对的 1/距离² 之和尽可能小。

子题n = 19

目标最小化 Riesz 2-能量

纪录对比

Riesz 2-能量 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	—	—	暂无收录
本站纪录	226.154902333	邱仲普	纪录详情 ↓

严格定义

容器半径为 1 的圆盘，圆心在 (1, 1)，横纵坐标范围均为 0 到 2
提交恰好 n 个点，两两不重合
约束每个点都在容器内或边界上
能量E₂(P) 为点集 P 的 Riesz 2-能量 $E_{2} (P) = \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac{1}{{‖ p_{i} - p_{j} ‖}^{2}}$
分数验证器将每个点对的能量按 10⁻⁹ 步长向上取整后求和，页面显示 score(P)/10⁹ $score (P) = \sum_{1 \leq i < j \leq n} ⌈ \frac{10^{9}}{{‖ p_{i} - p_{j} ‖}^{2}} ⌉$
目标最小化 score(P)；每个点对的向上取整误差不超过 10⁻⁹

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当前展示：本站纪录

2y0

12345678910111213141516171819

0x2

已验证构造最近的一对点

帮助理解

结构特征

1/距离² 对近距离点对的排斥很强：当 n 较小时，点全部落在圆周上排成正多边形；随着 n 增大，部分点进入圆盘内部并形成同心环层。环层数量与各层点数会在特定的 n 处发生跃迁。

研究进展

一般理论见 Borodachov、Hardin 与 Saff (2019)。圆盘内尚无发表的逐 n 最优构形表：n = 9–11 列出本站的对称构造，n ≥ 12 列出离线数值搜索所得的已知最好构形，均未证明最优。此前收录的 n = 5–8 已下架，因为在圆周上取正 n 边形即给出闭式能量 n(n²−1)/24，没有进一步优化的余地。

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构型与历史

纪录详情

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纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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以提交前公开第一名的九位小数坐标为种子，先将全部坐标精确缩放为 1e9 整数。在单位圆盘约束内做确定性坐标下降：依次遍历 19 个点，并按半径 1、2、4、8、16、32 枚举整数网格邻域；每次只接受使 Σ(i<j) ceil(10^27/d²) 严格减小的移动，各半径重复至无改进（至多 8 轮）。最后用独立整数实现全量检查圆盘约束、点不重合与所有 171 个点对，精确和由 226154902336 降至 226154902333。

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历史纪录（3 次易主）

邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
226.154902336→226.154902333
2026-09-08
Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
226.154902555→226.154902336
2026-09-01
邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
226.99426466→226.154902555
2026-09-01

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径为 1 的圆盘，圆心在 (1, 1)，横纵坐标范围均为 0 到 2。坐标写成十进制小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交 points。每个坐标写成十进制字符串，例如 "0.5"。分数是所有点对的 1/距离² 之和，越小越好。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "1.373010330",
      "1.268311672"
    ],
    [
      "1.370468310",
      "0.728413725"
    ],
    [
      "0.856500010",
      "0.563583758"
    ],
    [
      "0.508126106",
      "1.870666453"
    ],
    [
      "0.540439698",
      "1.001619356"
    ],
    [
      "0.622824835",
      "0.073858059"
    ],
    [
      "0.180566747",
      "1.573174619"
    ],
    [
      "0.013315401",
      "1.162645326"
    ],
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      "0.041759784",
      "0.714035512"
    ],
    [
      "0.258186024",
      "0.329394285"
    ],
    [
      "1.065307798",
      "0.002134833"
    ],
    [
      "1.488070219",
      "0.127195634"
    ],
    [
      "1.819787655",
      "0.427332382"
    ],
    [
      "1.959648029",
      "1.281203948"
    ],
    [
      "1.987285466",
      "0.841042746"
    ],
    [
      "1.739882573",
      "1.672736039"
    ],
    [
      "0.859846696",
      "1.437721593"
    ],
    [
      "1.375481305",
      "1.926829968"
    ],
    [
      "0.939448262",
      "1.998165060"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 19
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "1.373010330",
      "1.268311672"
    ],
    [
      "1.370468310",
      "0.728413725"
    ],
    [
      "0.856500010",
      "0.563583758"
    ],
    [
      "0.508126106",
      "1.870666453"
    ],
    [
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      "1.001619356"
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      "0.622824835",
      "0.073858059"
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      "1.488070219",
      "0.127195634"
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      "1.819787655",
      "0.427332382"
    ],
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      "1.959648029",
      "1.281203948"
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      "1.987285466",
      "0.841042746"
    ],
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      "1.739882573",
      "1.672736039"
    ],
    [
      "0.859846696",
      "1.437721593"
    ],
    [
      "1.375481305",
      "1.926829968"
    ],
    [
      "0.939448262",
      "1.998165060"
    ]
  ]
}

提交 points。每个坐标写成十进制字符串，例如 "0.5"。分数是所有点对的 1/距离² 之和，越小越好。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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