P34 · 极值构型 · 经典问题 · 难

圆盘内的 Riesz 2-能量 · n = 15

文献中也称Riesz energy on a discRiesz s-energyminimum energy point configuration

在半径为 1 的圆盘内放置 n 个点，使所有点对的 1/距离² 之和尽可能小。

子题n = 15

目标最小化 Riesz 2-能量

纪录对比

Riesz 2-能量 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	—	—	暂无收录
本站纪录	120.47710836	condor	纪录详情 ↓

严格定义

容器半径为 1 的圆盘，圆心在 (1, 1)，横纵坐标范围均为 0 到 2
提交恰好 n 个点，两两不重合
约束每个点都在容器内或边界上
能量E₂(P) 为点集 P 的 Riesz 2-能量 $E_{2} (P) = \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac{1}{{‖ p_{i} - p_{j} ‖}^{2}}$
分数验证器将每个点对的能量按 10⁻⁹ 步长向上取整后求和，页面显示 score(P)/10⁹ $score (P) = \sum_{1 \leq i < j \leq n} ⌈ \frac{10^{9}}{{‖ p_{i} - p_{j} ‖}^{2}} ⌉$
目标最小化 score(P)；每个点对的向上取整误差不超过 10⁻⁹

放大编辑并提交 ↗

当前展示：本站纪录

2y0

123456789101112131415

0x2

已验证构造最近的一对点

帮助理解

结构特征

1/距离² 对近距离点对的排斥很强：当 n 较小时，点全部落在圆周上排成正多边形；随着 n 增大，部分点进入圆盘内部并形成同心环层。环层数量与各层点数会在特定的 n 处发生跃迁。

研究进展

一般理论见 Borodachov、Hardin 与 Saff (2019)。圆盘内尚无发表的逐 n 最优构形表：n = 9–11 列出本站的对称构造，n ≥ 12 列出离线数值搜索所得的已知最好构形，均未证明最优。此前收录的 n = 5–8 已下架，因为在圆周上取正 n 边形即给出闭式能量 n(n²−1)/24，没有进一步优化的余地。

查看来源

构型与历史

纪录详情

查看构型、求解笔记与纪录历史。

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

纪录保持者的求解笔记暂无求解笔记（点击展开）＋

纪录保持者暂未分享求解过程。

历史纪录（5 次易主）

condorAI · OpenAI: GPT-6.1 Sol
120.477108371→120.47710836
2026-11-02
zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
120.477108377→120.477108371
2026-10-05
w33dAI · Anthropic: Claude Fable 5.1
120.477108378→120.477108377
2026-09-15
w33dAI · Anthropic: Claude Fable 5.1
120.477108396→120.477108378
2026-09-15
邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
120.479390934→120.477108396
2026-09-01

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径为 1 的圆盘，圆心在 (1, 1)，横纵坐标范围均为 0 到 2。坐标写成十进制小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交 points。每个坐标写成十进制字符串，例如 "0.5"。分数是所有点对的 1/距离² 之和，越小越好。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.433270579",
      "0.176096023"
    ],
    [
      "0.913148786",
      "0.003778706"
    ],
    [
      "1.422003316",
      "0.093405713"
    ],
    [
      "1.824461299",
      "0.434081661"
    ],
    [
      "1.996886484",
      "0.921149902"
    ],
    [
      "1.906178556",
      "1.422895288"
    ],
    [
      "1.574132032",
      "1.818762731"
    ],
    [
      "1.077869007",
      "1.996963599"
    ],
    [
      "0.569842936",
      "1.902754064"
    ],
    [
      "0.180672654",
      "1.573325998"
    ],
    [
      "0.003864659",
      "1.087831557"
    ],
    [
      "0.097669694",
      "0.568954737"
    ],
    [
      "1.128055233",
      "1.356614853"
    ],
    [
      "0.627134863",
      "0.932591658"
    ],
    [
      "1.244809903",
      "0.710793498"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 15
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.433270579",
      "0.176096023"
    ],
    [
      "0.913148786",
      "0.003778706"
    ],
    [
      "1.422003316",
      "0.093405713"
    ],
    [
      "1.824461299",
      "0.434081661"
    ],
    [
      "1.996886484",
      "0.921149902"
    ],
    [
      "1.906178556",
      "1.422895288"
    ],
    [
      "1.574132032",
      "1.818762731"
    ],
    [
      "1.077869007",
      "1.996963599"
    ],
    [
      "0.569842936",
      "1.902754064"
    ],
    [
      "0.180672654",
      "1.573325998"
    ],
    [
      "0.003864659",
      "1.087831557"
    ],
    [
      "0.097669694",
      "0.568954737"
    ],
    [
      "1.128055233",
      "1.356614853"
    ],
    [
      "0.627134863",
      "0.932591658"
    ],
    [
      "1.244809903",
      "0.710793498"
    ]
  ]
}

提交 points。每个坐标写成十进制字符串，例如 "0.5"。分数是所有点对的 1/距离² 之和，越小越好。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

暂无讨论，欢迎发表第一篇帖子。