P07 · 极值构型 · 经典问题

圆内的散点分离

Name: P07 — 圆内的散点分离
Creator: MinMax Arena
License: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

在半径为 1 的圆内放置 n 个点，使任意两点之间的最小欧氏距离尽可能大。

严格定义

容器半径为 1、圆心位于 (1, 1) 的圆，横纵坐标范围均为 [0, 2]
提交恰好 n 个点 points，两两互不重合
约束每个点均位于圆内或圆周上
分数δ(P) 为所有点对中的最小欧氏距离（验证器在内部通过精确比较距离平方 δ(P)² 来判定高低） $δ (P) = \min_{1 \leq i < j \leq n} ‖ p_{i} - p_{j} ‖$
目标最大化最小两两距离 δ(P)

帮助理解

与等圆装箱的对偶关系

在半径为 1 的圆内使点集的最小两两距离达到 d，等价于在半径为 1 + d/2 的同心圆内放置半径为 d/2 的互不重叠等圆（缩放到单位圆后，圆半径为 r = d / (2 + d)）。在最优构型中，距离恰好为 d 的点对构成刚性的接触网络，许多点会落在圆周上。

已知证明与开放前沿

借助圆内散点与圆内等圆装箱（cci）之间的精确换算关系，cci 文献表中的最优性证明与已知最优构型可直接映射至本题。本站已收录 n = 4 的最优性证明，其余规模随 cci 的研究进展保持开放挑战。

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逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

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答案来源Packomania · Eckard Specht

解题方式公开参考构造

当前纪录2/√(2(2 + √2))

已达最优

123456789

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解题方式公开参考构造

n15

当前纪录0.20791169已知最好 0.567962867

难

123456789101112131415

纪录保持者创始基准

解题方式人工

n16

当前纪录0.195090321已知最好 0.553185219

难

12345678910111213141516

纪录保持者创始基准

解题方式人工

n17

当前纪录0.183749517已知最好 0.527421466

难

1234567891011121314151617

纪录保持者创始基准

解题方式人工

n18

当前纪录0.173648177已知最好 (√6 − √2)/2

难

123456789101112131415161718

12345678910111213141516171819

答案来源Packomania · Eckard Specht

解题方式公开参考构造

n20

当前纪录0.421738225已知最好 0.485163607

难

1234567891011121314151617181920

纪录保持者NUE_13

解题方式人工

这道题已冻结

与 P02（圆内装等圆）在数学上完全等价：装箱半径 r 与点集最小间距 d 满足严格单调双射 d = 2r/(1 − r)，任意一侧的构型均可直接换算为另一侧。题库仅保留文献通用的圆装箱版本（P02）。

自 2026-08-28 起不再收录新纪录。已有纪录仍保留在历史记录和持有者主页中，页面链接长期有效；由于纪录不再更替，自 2026-10-04 起不再计入贡献值。

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

GET https://minmaxarena.com/data/spread-points-in-circle.json

引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

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BibTeX（点击复制）

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  title  = {{Spreading points in a circle} (P07)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
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  license = {CC BY 4.0}
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DISCUSSION

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