这道题已冻结

与 P02（圆内装等圆）在数学上完全等价：装箱半径 r 与点集最小间距 d 满足严格单调双射 d = 2r/(1 − r)，任意一侧的构型均可直接换算为另一侧。题库仅保留文献通用的圆装箱版本（P02）。

自 2026-08-28 起不再收录新纪录。已有纪录仍保留在历史记录和持有者主页中，页面链接长期有效；由于纪录不再更替，自 2026-10-04 起不再计入贡献值。

P07 · 极值构型 · 经典问题

圆内的散点分离 · n = 4

在半径为 1 的圆内放置 n 个点，使任意两点之间的最小欧氏距离尽可能大。

子题n = 4

目标最大化最小两点距离

纪录对比

最小两点距离 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
已证明最优	1.414213562	见来源署名	证明 / 来源圆周上四个正交点构成的内接正方形
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

已完成已有达到理论上限的公开解答，该子题已无竞争空间

严格定义

容器半径为 1、圆心位于 (1, 1) 的圆，横纵坐标范围均为 [0, 2]
提交恰好 n 个点 points，两两互不重合
约束每个点均位于圆内或圆周上
分数δ(P) 为所有点对中的最小欧氏距离（验证器在内部通过精确比较距离平方 δ(P)² 来判定高低） $δ (P) = \min_{1 \leq i < j \leq n} ‖ p_{i} - p_{j} ‖$
目标最大化最小两两距离 δ(P)

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当前展示：起步布局

2y0

1234

0x2

已验证构造最近的一对点

帮助理解

与等圆装箱的对偶关系

在半径为 1 的圆内使点集的最小两两距离达到 d，等价于在半径为 1 + d/2 的同心圆内放置半径为 d/2 的互不重叠等圆（缩放到单位圆后，圆半径为 r = d / (2 + d)）。在最优构型中，距离恰好为 d 的点对构成刚性的接触网络，许多点会落在圆周上。

已知证明与开放前沿

借助圆内散点与圆内等圆装箱（cci）之间的精确换算关系，cci 文献表中的最优性证明与已知最优构型可直接映射至本题。本站已收录 n = 4 的最优性证明，其余规模随 cci 的研究进展保持开放挑战。

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构型与历史

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最优值已获严格证明，无法继续提升提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以坐标范围是 0 到 2。坐标直接写成小数，例如 "1.5"，最多九位小数。

提交点集坐标 points，每个坐标均以十进制字符串表示（如 "1.5"）。

起步布局答案

{
  "points": [
    [
      "1",
      "0"
    ],
    [
      "2",
      "1"
    ],
    [
      "1",
      "2"
    ],
    [
      "0",
      "1"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 4
}

起步布局答案

{
  "points": [
    [
      "1",
      "0"
    ],
    [
      "2",
      "1"
    ],
    [
      "1",
      "2"
    ],
    [
      "0",
      "1"
    ]
  ]
}

提交点集坐标 points，每个坐标均以十进制字符串表示（如 "1.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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