P05 · 装箱与覆盖 · 经典问题

可倾斜等正方形装入圆

文献中也称squares in circlespacking unit squares in a circle

已验证构造6 个正方形

n = 6当前纪录 · 打开子题

在半径为 1 的圆内放置 n 个大小完全相同、可任意旋转且互不重叠的正方形，使它们的共同边长尽可能大。

严格定义

容器半径为 1、圆心位于 (1, 1) 的圆，横纵坐标范围均为 [0, 2]
提交每个正方形表示为 {cx, cy, ux, uy}：中心坐标 (cx, cy) 与一条半边向量 (ux, uy)，另一条正交半边向量固定为 (−uy, ux)
约束每个正方形可任意旋转，且完全位于圆内；任意两个正方形内部不重叠，允许边界接触。公开指标取所有正方形中的最小边长
目标最大化共同边长（验证器在内部通过精确比较边长平方来判定高低）

帮助理解

旋转自由度与圆弧边界

正方形的直边无法贴合圆弧，只有顶点能落在圆周上。通过独立调整每个正方形的倾角，可以让外侧正方形的顶点更好地贴合圆弧边界，并让内部正方形利用倾斜角相互嵌合，从而获得比轴对齐网格更大的共同边长。

已知证明与开放前沿

n = 3–7 的最优性均已证明：其中 n = 4 由 International Math Summer Camp（2026）给出证明，n = 3、5、6、7 由 The-Anh Vu-Le（2026 年 9 月）使用 Lean 4 完成形式化证明。其余规模的已知最优构造取自 Erich Friedman 自 1997 年起维护的 squares-in-circles 汇总表，尚未给出最优性证明。

逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

每个规模参数 n 都是一个独立计分的子题。点击任意卡片可查看当前纪录构型，或打开编辑器提交更优解答。

讨论区（1）↓

当前纪录16√17/85

已证明最优

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录√2/2

答案来源Erich Friedman's Math Magic

解题方式公开参考构造

当前纪录√10/5

已证明最优

答案来源Erich Friedman

解题方式公开参考构造

当前纪录534/√(19706163 + 13275064√2 − 40√(443374242065 + 313512226176√2))

已证明最优

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录2√13/13

已证明最优

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录0.50536422已知最好 [0.5053642215, 0.5053642225]

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

当前纪录0.48132547已知最好 16√1105/1105

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录0.47140452已知最好 √2/3

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录0.451698348已知最好 [0.4516977058273521, 0.4516997461447427]

已追平已知最好

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

当前纪录0.447213595已知最好 √5/5

已追平已知最好

答案来源Erich Friedman

解题方式公开参考构造

当前纪录0.423601812已知最好 [0.42358522534733994, 0.42360316855170077]

已追平已知最好

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

当前纪录0.4已知最好 2/5

已追平已知最好

答案来源Erich Friedman

解题方式公开参考构造

当前纪录0.394767126已知最好 [0.3946329913180741, 0.3947887879984209]

已追平已知最好

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

当前纪录0.38122911已知最好 40√11009/11009

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

当前纪录0.373569988已知最好 [0.3735692298496757, 0.3735706253945840]

已追平已知最好

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

当前纪录0.364768602已知最好 8√481/481

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

当前纪录0.356951091已知最好 [0.3569503589135858, 0.3569516330537213]

已追平已知最好

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.345594918已知最好 [0.3455425017277125, 0.3456619426201176]

已追平已知最好

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

当前纪录0.34299717已知最好 √34/17

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.329771875已知最好 [0.3297717979158422, 0.3297728854138156]

已追平已知最好

纪录保持者DeepSeek Harness

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash 1017

当前纪录0.326009574已知最好 [0.3260100606704722, 0.3260111234995339]

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.321581599已知最好 [0.3216044201311502, 0.3216054544285072]

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.315009916已知最好 [0.3150092455213560, 0.3150102378327296]

已追平已知最好

纪录保持者DeepSeek Harness

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash 1017

当前纪录0.312347523已知最好 2√41/41

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.306677905已知最好 [0.3067004855068685, 0.3067014261616317]

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.300166985已知最好 [0.3001668927923925, 0.3001677937967324]

已追平已知最好

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.294715773已知最好 [0.2947157466623441, 0.2947166152386174]

已追平已知最好

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.289048614已知最好 [0.2890482508245101, 0.2890490863158382]

已追平已知最好

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.283865849已知最好 [0.2838651073010105, 0.2838659130972894]

已追平已知最好

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.279845295已知最好 [0.2798447421370623, 0.2798455252700510]

已追平已知最好

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.277769436已知最好 [0.2777692903827938, 0.2777700619427239]

已追平已知最好

纪录保持者NUE_13

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录0.275549292已知最好 [0.2755936977233204, 0.2755944572442760]

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.274721124已知最好 2√53/53

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.268065701已知最好 [0.2682014944187269, 0.2682022137410723]

纪录保持者NUE_13

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录0.265163209已知最好 [0.2651626640362530, 0.2651633671505015]

已追平已知最好

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.260745646已知最好 [0.2607459942896627, 0.2607466741761709]

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.257422243已知最好 [0.2574254367222533, 0.2574260994025141]

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.253914652已知最好 [0.2539140856299862, 0.2539147303552521]

已追平已知最好

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

GET https://minmaxarena.com/data/tilted-squares-in-circle.json

引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/tilted-squares-in-circle.json

BibTeX（点击复制）

@misc{minmaxarena-tilted-squares-in-circle-2026-10,
  title  = {{Tilted equal squares in a circle} (P05)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/tilted-squares-in-circle.json},
  license = {CC BY 4.0}
}

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

外部记录更新：n=3，5，6，7已证明以及37~40外部记录NUE_13#312 条回复11 天前