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P05 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

可倾斜等正方形装入圆 · n = 13

文献中也称squares in circlespacking unit squares in a circle

在半径为 1 的圆内放置 n 个大小完全相同、可任意旋转且互不重叠的正方形，使它们的共同边长尽可能大。

子题n = 13
目标最大化 最小边长

纪录对比

最小边长 · 越大越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
外部已知最好[0.42358522534733994, 0.42360316855170077]见来源署名Erich Friedman ↗
本站纪录0.423601812condor纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

  • 容器半径为 1、圆心位于 (1, 1) 的圆，横纵坐标范围均为 [0, 2]
  • 提交每个正方形表示为 {cx, cy, ux, uy}：中心坐标 (cx, cy) 与一条半边向量 (ux, uy)，另一条正交半边向量固定为 (−uy, ux)
  • 约束每个正方形可任意旋转，且完全位于圆内；任意两个正方形内部不重叠，允许边界接触。公开指标取所有正方形中的最小边长
  • 目标最大化共同边长（验证器在内部通过精确比较边长平方来判定高低）
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当前展示：本站纪录

2y0
0x2
已验证构造13 个正方形

帮助理解

旋转自由度与圆弧边界

正方形的直边无法贴合圆弧，只有顶点能落在圆周上。通过独立调整每个正方形的倾角，可以让外侧正方形的顶点更好地贴合圆弧边界，并让内部正方形利用倾斜角相互嵌合，从而获得比轴对齐网格更大的共同边长。

已知证明与开放前沿

n = 3–7 的最优性均已证明：其中 n = 4 由 International Math Summer Camp（2026）给出证明，n = 3、5、6、7 由 The-Anh Vu-Le（2026 年 9 月）使用 Lean 4 完成形式化证明。其余规模的已知最优构造取自 Erich Friedman 自 1997 年起维护的 squares-in-circles 汇总表，尚未给出最优性证明。

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可倾斜等正方形装入圆 n = 13 的当前纪录构型，0.423601812
构型与历史

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纪录保持者condor
解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol
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历史纪录（17 次易主）
  1. condorAI · OpenAI: GPT-6.1 Sol
    0.4236018127→0.4236018128
  2. zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
    0.423601783→0.423601812
  3. 游侠AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.423601738→0.423601783
  4. Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.4236017382→0.4236017383
  5. Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.423601737→0.423601738
  6. Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.423601736→0.423601737
  7. Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.4236017364→0.4236017367
  8. Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.423601729→0.423601736
  9. Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.423601727→0.423601729
  10. Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.423601726→0.423601727
  11. Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.423601723→0.423601726
  12. Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.423601722→0.423601723
  13. Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.423601719→0.423601722
  14. David W. Cantrell人工
    0.422867137→0.423601719
  15. 邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
    0.419999999→0.422867137
  16. Cphysics人工
    0.216350988→0.419999999
  17. lird人工
    0.153392992→0.216350988
ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以坐标范围是 0 到 2。坐标和向量用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.4"，最多九位小数。

每个正方形提交 {cx, cy, ux, uy}，其中 (cx, cy) 为中心坐标，(ux, uy) 为一条半边向量，另一条正交半边向量固定取 (−uy, ux)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.4"）。由于倾斜正方形的最优边长通常是无理数，无法直接写成精确的有限小数，因此通过提交有理半边向量来唯一确定正方形及其边长。系统以所有正方形中的最小边长作为公开指标，故应使各正方形尺寸尽量一致。

当前第一名的答案

{
  "squares": [
    {
      "cx": "0.681971933",
      "cy": "1.107017878",
      "ux": "0.161166833",
      "uy": "0.137422254"
    },
    {
      "cx": "1.330944744",
      "cy": "1.055409883",
      "ux": "0.161166831",
      "uy": "0.137422257"
    },
    {
      "cx": "0.982624622",
      "cy": "0.781503829",
      "ux": "0.147381246",
      "uy": "0.152113091"
    },
    {
      "cx": "1.028143493",
      "cy": "1.353905653",
      "ux": "0.161166832",
      "uy": "0.137422256"
    },
    {
      "cx": "0.407127422",
      "cy": "1.429351545",
      "ux": "0.161166833",
      "uy": "0.137422255"
    },
    {
      "cx": "0.455945717",
      "cy": "0.475421758",
      "ux": "0.161166833",
      "uy": "0.137422254"
    },
    {
      "cx": "1.355686184",
      "cy": "0.511692904",
      "ux": "0.161166830",
      "uy": "0.137422258"
    },
    {
      "cx": "0.753298982",
      "cy": "1.676239320",
      "ux": "0.161166833",
      "uy": "0.137422254"
    },
    {
      "cx": "1.350477155",
      "cy": "1.628750168",
      "ux": "0.161166832",
      "uy": "0.137422256"
    },
    {
      "cx": "1.653278407",
      "cy": "1.330254399",
      "ux": "0.161166832",
      "uy": "0.137422256"
    },
    {
      "cx": "0.301470932",
      "cy": "0.900391174",
      "ux": "0.161166833",
      "uy": "0.137422254"
    },
    {
      "cx": "0.907143091",
      "cy": "0.285116414",
      "ux": "0.096655331",
      "uy": "0.188460529"
    },
    {
      "cx": "1.674007063",
      "cy": "0.791243554",
      "ux": "0.161166831",
      "uy": "0.137422257"
    }
  ]
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 13
}

当前第一名的答案

{
  "squares": [
    {
      "cx": "0.681971933",
      "cy": "1.107017878",
      "ux": "0.161166833",
      "uy": "0.137422254"
    },
    {
      "cx": "1.330944744",
      "cy": "1.055409883",
      "ux": "0.161166831",
      "uy": "0.137422257"
    },
    {
      "cx": "0.982624622",
      "cy": "0.781503829",
      "ux": "0.147381246",
      "uy": "0.152113091"
    },
    {
      "cx": "1.028143493",
      "cy": "1.353905653",
      "ux": "0.161166832",
      "uy": "0.137422256"
    },
    {
      "cx": "0.407127422",
      "cy": "1.429351545",
      "ux": "0.161166833",
      "uy": "0.137422255"
    },
    {
      "cx": "0.455945717",
      "cy": "0.475421758",
      "ux": "0.161166833",
      "uy": "0.137422254"
    },
    {
      "cx": "1.355686184",
      "cy": "0.511692904",
      "ux": "0.161166830",
      "uy": "0.137422258"
    },
    {
      "cx": "0.753298982",
      "cy": "1.676239320",
      "ux": "0.161166833",
      "uy": "0.137422254"
    },
    {
      "cx": "1.350477155",
      "cy": "1.628750168",
      "ux": "0.161166832",
      "uy": "0.137422256"
    },
    {
      "cx": "1.653278407",
      "cy": "1.330254399",
      "ux": "0.161166832",
      "uy": "0.137422256"
    },
    {
      "cx": "0.301470932",
      "cy": "0.900391174",
      "ux": "0.161166833",
      "uy": "0.137422254"
    },
    {
      "cx": "0.907143091",
      "cy": "0.285116414",
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    },
    {
      "cx": "1.674007063",
      "cy": "0.791243554",
      "ux": "0.161166831",
      "uy": "0.137422257"
    }
  ]
}

每个正方形提交 {cx, cy, ux, uy}，其中 (cx, cy) 为中心坐标，(ux, uy) 为一条半边向量，另一条正交半边向量固定取 (−uy, ux)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.4"）。由于倾斜正方形的最优边长通常是无理数，无法直接写成精确的有限小数，因此通过提交有理半边向量来唯一确定正方形及其边长。系统以所有正方形中的最小边长作为公开指标，故应使各正方形尺寸尽量一致。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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