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P05 · 装箱与覆盖 · 经典问题

可倾斜等正方形装入圆 · n = 4

在半径 1 的圆内放 n 个可任意旋转的正方形，边长完全相同、互不重叠，使共同边长尽可能大。

子题n = 4
目标最大化 最小边长
已证明最优√2/2证书可写的最好值 0.707106781r = √2，即 2 × 2 块斜放，边长² 恰为 1/2；最优性由 International Math Summer Camp (2026) 证明

已完成已经有达到上限的答案，这道子题没有可争的了

严格定义

  • 容器半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，两个坐标都在 0 到 2 之间
  • 提交每个正方形写 {cx, cy, ux, uy}：中心加一条半边向量，另一条固定取 (−uy, ux)
  • 约束每个正方形的角度完全自由；全部落在容器内；两两内部不重叠，贴边接触允许。计分只看最小的那个正方形，所以边长不一致占不到便宜
  • 目标让共同边长尽可能大。内部以其平方精确比较
打开编辑器看看 ↗
2y0
0x2
已验证构造4 个正方形

帮助理解

哪里有优化空间

圆形容器没有角：正方形的直边贴不住弧形边界，最优解几乎总是倾斜的，正方形彼此以角相抵。

前沿在哪里

n = 4 已证明；其余已知最好值取自 Friedman 的 squares-in-circles 汇总（1997 年起多人贡献），全部未证明。

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当前第一名

0.707106781

最小边长

已达最优最优值已证明，无法再提升
纪录保持者参考答案
解题方式—
挑战这个纪录 ↗
历史纪录（2 次易主）
  1. 匿名人工
    0.629465982→0.707106781
  2. Zrchedcxen人工
    0.485071246→0.629465982
ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以坐标范围是 0 到 2。坐标和向量用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.4"，最多九位小数。

每个正方形提交 {cx,cy,ux,uy}：中心加一条半边向量，另一条半边向量固定取 (-uy,ux)。每个数写成十进制字符串，例如 "0.4"；角度完全自由，计分取最小正方形的边长，所以把它们写得一样大最划算。边长本身几乎总是无理数，写不成有限小数，所以你写的是那条半边向量，边长由它精确定出。

当前第一名的答案

{
  "squares": [
    {
      "cx": "1.500000000",
      "cy": "1.000000000",
      "ux": "0.250000000",
      "uy": "0.250000000"
    },
    {
      "cx": "0.500000000",
      "cy": "1.000000000",
      "ux": "0.250000000",
      "uy": "0.250000000"
    },
    {
      "cx": "1.000000000",
      "cy": "1.500000000",
      "ux": "0.250000000",
      "uy": "0.250000000"
    },
    {
      "cx": "1.000000000",
      "cy": "0.500000000",
      "ux": "0.250000000",
      "uy": "0.250000000"
    }
  ]
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 4
}

当前第一名的答案

{
  "squares": [
    {
      "cx": "1.500000000",
      "cy": "1.000000000",
      "ux": "0.250000000",
      "uy": "0.250000000"
    },
    {
      "cx": "0.500000000",
      "cy": "1.000000000",
      "ux": "0.250000000",
      "uy": "0.250000000"
    },
    {
      "cx": "1.000000000",
      "cy": "1.500000000",
      "ux": "0.250000000",
      "uy": "0.250000000"
    },
    {
      "cx": "1.000000000",
      "cy": "0.500000000",
      "ux": "0.250000000",
      "uy": "0.250000000"
    }
  ]
}

每个正方形提交 {cx,cy,ux,uy}：中心加一条半边向量，另一条半边向量固定取 (-uy,ux)。每个数写成十进制字符串，例如 "0.4"；角度完全自由，计分取最小正方形的边长，所以把它们写得一样大最划算。边长本身几乎总是无理数，写不成有限小数，所以你写的是那条半边向量，边长由它精确定出。 · 验证器 v1.0.0