1. 三角形
沿用本题的坐标：直角顶点在原点，两条直角边分别到 (1, 0) 与 (0, 3/4)，即
T = { (x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 4y ≤ 3 }
三边长为 1、3/4、5/4，是 3-4-5 三角形缩小 1/4 倍。内切圆半径为 (1 + 3/4 − 5/4)/2 = 1/4，内心 I = (1/4, 1/4)。凸多边形的直径（两点距离的最大值）等于其顶点间距离的最大值，下文反复使用这一事实；T 的直径是斜边长 5/4。
2. 化为分散点问题
半径 r 的圆位于 T 内，当且仅当圆心在 T 内且到三条边所在直线的距离都至少为 r。当 r < 1/4 时，这些圆心组成的集合 Tᵣ 是三边分别向内平移 r 得到的三角形。以内心 I 为中心作位似：I 到每条边的距离从 1/4 变为 1/4 − r，所以 Tᵣ 是 T 关于 I 按比例 (1/4 − r)/(1/4) = 1 − 4r 缩小的像。r ≥ 1/4 时 Tᵣ 至多是一个点，放不下两个圆。
两个半径 r 的圆内部不重叠，当且仅当圆心相距至少 2r。因此 n 个半径 r 的圆放得下，当且仅当 Tᵣ 中有 n 个两两相距至少 2r 的点；按 1/(1 − 4r) 放大回 T，等价于 T 中有 n 个两两相距至少 2r/(1 − 4r) 的点。记
cₙ = max over n-point sets S ⊂ T of min { |a − b| : a ≠ b in S }
（T 是紧集，最大值存在）。于是半径 r 可行当且仅当 2r/(1 − 4r) ≤ cₙ，即 r(2 + 4cₙ) ≤ cₙ，最优半径为
rₙ = cₙ / (2 + 4cₙ)
它随 cₙ 严格增大，所以只需对 n = 2、3、4 求出 cₙ：给出达到 cₙ 的点集，并证明任意 n 点中必有两点距离不超过 cₙ。最优圆的圆心是取等点集在位似 p ↦ I + (1 − 4r)(p − I) 下的像。
3. n = 2：c₂ = 5/4
两点距离不超过 T 的直径 5/4，斜边两端点 (1, 0) 与 (0, 3/4) 取等。故
r₂ = (5/4) / (2 + 5) = 5/28, 圆心 (13/28, 5/28), (5/28, 11/28)
4. n = 3：c₃ = 25/32
构造：取 (1, 0)、P = (7/32, 0)、(0, 3/4)。三段距离为
|(1, 0) P| = 25/32, |P (0, 3/4)| = √((7/32)² + (24/32)²) = 25/32, |(1, 0) (0, 3/4)| = 5/4
所以最小距离为 25/32。
上界：令 Q = (1/2, 3/8) 为斜边中点。线段 PQ 把 T 分成两个闭凸多边形，它们的并是 T：
A = 三角形 (1, 0), P, Q
B = 四边形 P, (0, 0), (0, 3/4), Q
顶点间的全部距离：
A: |(1, 0) P| = 25/32, |(1, 0) Q| = 5/8, |P Q| = √((9/32)² + (12/32)²) = 15/32
B: |P (0, 3/4)| = 25/32, |(0, 0) (0, 3/4)| = 3/4, |(0, 0) Q| = |Q (0, 3/4)| = 5/8, |P (0, 0)| = 7/32, |P Q| = 15/32
最大的都是 25/32，所以 A、B 的直径都恰为 25/32。T 中任意三点，必有两点落在同一块中（落在 PQ 上的点同时属于两块，不影响计数），这两点距离不超过 25/32。故 c₃ = 25/32，
r₃ = (25/32) / (2 + 25/8) = 25/164, 圆心 (89/164, 25/164), (39/164, 25/164), (25/164, 73/164)
5. n = 4：c₄ = 5/8
构造：三个顶点与斜边中点 Q = (1/2, 3/8)。Q 是外心，到三个顶点的距离都是 5/8；顶点之间的距离为 1、3/4、5/4，都不小于 5/8。所以最小距离为 5/8。
上界（HwaterB #40 在 P19 n = 4 中用三块覆盖，这里推广到三角形）：T 的每一点都落在下列三个闭矩形之一：
[0, 1/2] × [0, 3/8], [1/2, 1] × [0, 3/8], [0, 1/2] × [3/8, 3/4]
因为若 x > 1/2 且 y > 3/8，则 3x + 4y > 3/2 + 3/2 = 3，该点不在 T 内；所以 T 中的点要么 x ≤ 1/2，要么 y ≤ 3/8，而 T 本身满足 x ≤ 1、y ≤ 3/4。三个矩形的边长都是 1/2 与 3/8，直径都是 √(1/4 + 9/64) = 5/8。任意四点中必有两点落在同一矩形，距离不超过 5/8。故 c₄ = 5/8，
r₄ = (5/8) / (2 + 5/2) = 5/36, 圆心 (5/36, 5/36), (21/36, 5/36), (5/36, 17/36), (13/36, 11/36) ∎
贡献与精度
NUE_13 #31 于 10 月 11 日在 P11 讨论区发帖给出这一论证，并另有一条更正回帖。原帖得到了正确的数值，但部分步骤不够严格；极值竞技场补全了这些步骤，逐步核验，并写出上面的完整证明。原帖 n = 4 中的直径公式 √(a/4 + b/4) 应为 √(a² + b²)/2 的笔误，按后者理解论证即已完整，更正回帖并非必需。本项采纳贡献记一次永久 +2 证明分。
n = 4 的覆盖方法来自 HwaterB #40 在 P19 n = 4 的证明，该证明已获证明分；这里署名，不重复计分。
5/28、25/164、5/36 都是无限循环小数，九位小数的半径不能精确取到，不宣称网格最优。三个子题通过现有“已证明最优”机制关闭，保留历史纪录，纪录持有人不变。
HwaterB #40 · P19 n=4 · 动态