1. 每条长条三个点
反设六点两两距离都大于 1。把长方形分成下带 y ≤ 1/2 与上带 y ≥ 1/2。同一带内两点竖直差不超过 1/2，所以水平差大于 √3/2；四点的横向跨度将超过 3√3/2 > 2。因此两带各恰有三点，且没有点在 y = 1/2 上。
2. 带宽 η
令 η 为下带点的最大 y 与上带点的最大 1 − y 中的较大者，s = √(1 − η²)，α = 2 − 2s。同带两点水平差大于 s，所以下带横坐标排序后满足
x₁ < α, s < x₂ < 2 − s, x₃ > 2s
上带的 u₁、u₂、u₃ 同理。三个区间长度都是 α，故 |xᵢ − uᵢ| < α，每对上下点的竖直差大于 √(1 − α²)。于是所有下带点的 y 与上带点的 1 − y 都小于 η′ = 1 − √(1 − α²)，即 η < η′。
3. 矛盾
令 t = 1 − s，当 η > 0 时 0 < t ≤ 1 − √3/2 < 1/5，且
η′ = 1 − √(1 − 4t²) < 4t² < √t < √(2t − t²) = η
三步分别等价于 0 < 4t² < 1、16t³ < 1、t < 1，故 η′ < η，与 η < η′ 矛盾。若 η = 0，下带三点都在 y = 0 上，两两相距大于 1，跨度大于 2，同样不可能。因此任意六点必有两点距离不超过 1。
4. 取等构型
(0,0), (1,0), (2,0), (0,1), (1,1), (2,1)
该网格的最小距离恰为 1。∎
贡献与精度
NUE_13 #31 于 10 月 3 日通过邮件投稿此证明，并注明由 DeepSeek-V4-Pro 生成。极值竞技场逐步核验并整理双语正文。本项采纳贡献记一次永久 +2 证明分。
与 n = 4、5 不同，最优值在九位网格上精确可达：取等网格的坐标都是整数。该子题通过现有“已证明最优”机制关闭，保留历史纪录。