1. 面积下界
无论如何旋转，内部互不重叠的零件装入边长 L 的正方形，总面积不超过 L²。三角形面积为 1/2，L 形面积为 3，所以
P89: n/2 ≤ L², P91: 3n ≤ L².
取等意味着零件无空隙地铺满正方形，因此只要存在这样的满铺，下界就是最优值。
2. P89：n = 4、8、16、18
n = 4：沿两条对角线切开边长 √2 的正方形。n = 8：把 2 × 2 正方形的四个单位格各沿一条对角线切开。n = 16：四个 n = 4 的正方形拼成边长 2√2 的正方形。n = 18：把 3 × 3 的九个单位格各切开。最优值分别为 √2、2、2√2、3。
3. P91：n = 12、27
n = 12：下界为 6，由六个 2 × 3 长方形取等，每个长方形由两块 L 形拼成。n = 27：下界为 9，Friedman 表中 9 × 9 的满铺即本站的参考证书，已精确验证。
4. 仍开放的子题
其余 n 下界取不到；某个布局有空隙，也不能排除别的布局装进更小的正方形。P91 n = 3 的下界同样是 3，但 3 × 3 正方形不能被 L 形满铺。P89 n = 1、2 与 P91 n = 1 已于 9 月 22 日由直径论证关闭。
贡献与精度
hadsajnc #146 于 9 月 25 日指出 P91 的满铺，本项采纳贡献记一次永久 +2 证明分。NUE_13 #31 同日对 P89 作出同样的观察；这是其 9 月 18 日已采纳的 P90 证明中的面积论证，予以署名，不重复计分。😰 #106 随后写出了不等式，予以署名，不另计分。构型均见 Friedman 的表，不主张数学史上的首次发现。
六个子题通过现有“已证明最优”机制关闭，保留历史纪录。√2、2√2 是无理数，其余子题的归一化网格证书也带有舍入，因此不宣称任何已存小数纪录是网格最优。
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