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P92 · 装箱与覆盖 · 经典问题

单位圆内圆的半径之和

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0x2
已验证构造计分是全部半径之和
n = 12当前纪录 · 打开子题

在半径为 1 的圆内放置 n 个互不重叠的圆，每个圆的半径各自随意，使所有半径之和尽可能大。

严格定义

  • 容器圆心 (1, 1)、半径 1 的闭圆盘；圆可以与容器边界相切
  • 提交恰好 n 个圆，每个是 [x, y, r]，r > 0，全部数字最多九位小数
  • 约束每个圆完整落在圆盘内：(x − 1)² + (y − 1)² ≤ (1 − r)²；任意两圆内部不相交：圆心距 ≥ 半径之和。全部按整数精确判定，相切允许
  • 分数半径之和，精确整数求和后按九位小数显示；越大越好S=Σr
  • 目标在所有合法放置中最大化半径之和maxSΣr

帮助理解

哪里有优化空间

和正方形里一样，等圆是最差的策略之一：一个大圆压在圆心附近，或者几个大圆围成一圈，再让小圆钻进它们和圆周之间的缝隙。圆盘没有角，所以“靠墙的大圆”换成了“沿圆周的一圈”，大小的取舍换了一种几何。

前沿在哪里

Erich Friedman 的“最大化总周长”表列到 n = 50：n ≤ 4 和 6–10 是 Elser 与 Cantrell 的闭式构型，n = 5 是 Haowei Lin 2026 年 7 月的改进，n = 33–50 是 Jonathan Viquerat 2026 年 9 月新加的行。表还在被改写，没有一行有最优性证明；本站展示的是按图重建并精确验算的构型。

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逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

每个 n 都是一道独立的子题，各有各的纪录和页面。选择任意一格查看当前构造，或提交更好的答案。

讨论区（1）↓
n1
当前纪录1
已达最优
答案来源Trivial.
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n2
当前纪录1
已达最优
答案来源Trivial.
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n3
当前纪录1.392304844文献数值待核实
难
答案来源Trivial.
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n4
当前纪录1.666666666已知最好 [1.666, 1.667]
已追平已知最好
纪录保持者Tmrg
解题方式人工
n5
当前纪录1.866843607已知最好 [1.866835, 1.866845]
已追平已知最好
纪录保持者NUE_13
解题方式人工
n6
当前纪录2.110575721已知最好 [2.110, 2.111]
已追平已知最好
答案来源Veit Elser
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n7
当前纪录2.333333331已知最好 [2.333, 2.334]
已追平已知最好
纪录保持者Tmrg
解题方式人工
n8
当前纪录2.512966937已知最好 [2.512, 2.513]
已追平已知最好
答案来源Veit Elser
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n9
当前纪录2.66061192已知最好 [2.660, 2.661]
已追平已知最好
纪录保持者Tmrg
解题方式人工
n10
当前纪录2.783982904已知最好 [2.783, 2.784]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
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n11
当前纪录2.947616238已知最好 [2.947, 2.948]
已追平已知最好
答案来源Veit Elser
解题方式公开参考构造
n12
当前纪录3.103853432已知最好 [3.103, 3.104]
已追平已知最好
答案来源Veit Elser
解题方式公开参考构造
n13
当前纪录3.227013902已知最好 [3.227, 3.228]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
解题方式公开参考构造
n14
当前纪录3.359761377已知最好 [3.359, 3.360]
已追平已知最好
答案来源Veit Elser
解题方式公开参考构造
n15
当前纪录3.48065231已知最好 [3.480, 3.481]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
解题方式公开参考构造
n16
当前纪录3.611063205已知最好 [3.611, 3.612]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
解题方式公开参考构造
n17
当前纪录3.730893245已知最好 [3.730, 3.731]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
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n18
当前纪录3.850913208已知最好 [3.850, 3.851]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
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n19
当前纪录3.981543885已知最好 [3.981, 3.982]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
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n20
当前纪录4.076548917已知最好 [4.076, 4.077]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
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n21
当前纪录4.181572894已知最好 [4.181, 4.182]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
解题方式公开参考构造
n22
当前纪录4.287688578已知最好 [4.287, 4.288]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
解题方式公开参考构造
n23
当前纪录4.372978434已知最好 [4.372, 4.373]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
解题方式公开参考构造
n24
当前纪录4.466438675已知最好 [4.466, 4.467]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
解题方式公开参考构造
n25
当前纪录4.564882207已知最好 [4.564, 4.565]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
解题方式公开参考构造
n26
当前纪录4.664464659已知最好 [4.664, 4.665]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
解题方式公开参考构造
n27
当前纪录4.762847432已知最好 [4.762, 4.763]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
解题方式公开参考构造
n28
当前纪录4.849872279已知最好 [4.849, 4.850]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
解题方式公开参考构造
n29
当前纪录4.934129701已知最好 [4.934, 4.935]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
解题方式公开参考构造
n30
当前纪录5.019820049已知最好 [5.019, 5.020]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
解题方式公开参考构造
n31
当前纪录5.104855721已知最好 [5.104, 5.105]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
解题方式公开参考构造
n32
当前纪录5.191687361已知最好 [5.191, 5.192]
已追平已知最好
答案来源David W. Cantrell
解题方式公开参考构造
n33
当前纪录5.277477052已知最好 [5.277475, 5.277485]
已追平已知最好
答案来源Jonathan Viquerat
解题方式公开参考构造
n34
当前纪录5.360442286已知最好 [5.360435, 5.360445]
已追平已知最好
答案来源Jonathan Viquerat
解题方式公开参考构造
n35
当前纪录5.44624869已知最好 [5.446245, 5.446255]
已追平已知最好
答案来源Jonathan Viquerat
解题方式公开参考构造
n36
当前纪录5.530328043已知最好 [5.530325, 5.530335]
已追平已知最好
答案来源Jonathan Viquerat
解题方式公开参考构造
n37
当前纪录5.621722703已知最好 [5.621715, 5.621725]
已追平已知最好
答案来源Jonathan Viquerat
解题方式公开参考构造
n38
当前纪录5.692492719已知最好 [5.692485, 5.692495]
已追平已知最好
答案来源Jonathan Viquerat
解题方式公开参考构造
n39
当前纪录5.763372582已知最好 [5.763365, 5.763375]
已追平已知最好
答案来源Jonathan Viquerat
解题方式公开参考构造
n40
当前纪录5.836314155已知最好 [5.836305, 5.836315]
已追平已知最好
答案来源Jonathan Viquerat
解题方式公开参考构造
n41
当前纪录5.910325983已知最好 [5.910325, 5.910335]
已追平已知最好
答案来源Jonathan Viquerat
解题方式公开参考构造
n42
当前纪录5.981663735已知最好 [5.981655, 5.981665]
已追平已知最好
答案来源Jonathan Viquerat
解题方式公开参考构造
n43
当前纪录6.047099045已知最好 [6.047095, 6.047105]
已追平已知最好
答案来源Jonathan Viquerat
解题方式公开参考构造
n44
当前纪录6.11393115已知最好 [6.113925, 6.113935]
已追平已知最好
答案来源Jonathan Viquerat
解题方式公开参考构造
n45
当前纪录6.187996093已知最好 [6.187995, 6.188005]
已追平已知最好
答案来源Jonathan Viquerat
解题方式公开参考构造
n46
当前纪录6.260153261已知最好 [6.260145, 6.260155]
已追平已知最好
答案来源Jonathan Viquerat
解题方式公开参考构造
n47
当前纪录6.3277948已知最好 [6.327785, 6.327795]
已追平已知最好
答案来源Jonathan Viquerat
解题方式公开参考构造
n48
当前纪录6.40861798已知最好 [6.408615, 6.408625]
已追平已知最好
答案来源Jonathan Viquerat
解题方式公开参考构造
n49
当前纪录6.473314965已知最好 [6.473305, 6.473315]
已追平已知最好
答案来源Jonathan Viquerat
解题方式公开参考构造
n50
当前纪录6.534856438已知最好 [6.534855, 6.534865]
已追平已知最好
答案来源Jonathan Viquerat
解题方式公开参考构造

引用与数据

这一题族的全部子题、权威分数、证明状态、坐标与来源，都在下面这个稳定地址里，以 CC BY 4.0 发布。分数会随纪录变化，引用时请一并记录文件里的 generatedAt。

GET https://minmaxarena.com/data/circles-in-disc-radii.json

引用请指向 2026-08 冻结版：纪录会变，冻结版永远不变，所以引文十年后仍可核对。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-08/circles-in-disc-radii.json
BibTeX（点开复制）
@misc{minmaxarena-circles-in-disc-radii-2026-08,
  title  = {{Sum of radii in the unit circle} (P92)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-08 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-08/circles-in-disc-radii.json},
  license = {CC BY 4.0}
}
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