P92 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

单位圆内圆的半径之和 · n = 20

在半径为 1 的圆内放置 n 个互不重叠的圆，每个圆的半径各自随意，使所有半径之和尽可能大。

子题n = 20

目标最大化半径之和

纪录对比

半径之和 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[4.076, 4.077]	见来源署名	Erich Friedman ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器圆心 (1, 1)、半径 1 的闭圆盘；圆可以与容器边界相切
提交恰好 n 个圆，每个是 [x, y, r]，r > 0，全部数字最多九位小数
约束每个圆完整落在圆盘内：(x − 1)² + (y − 1)² ≤ (1 − r)²；任意两圆内部不相交：圆心距 ≥ 半径之和。全部按整数精确判定，相切允许
分数半径之和，精确整数求和后按九位小数显示；越大越好 $S = Σ r$
目标在所有合法放置中最大化半径之和 $\max_{S} Σ r$

放大来摆，然后提交 ↗

当前展示：起步布局

2y0

1234567891011121314151617181920

0x2

已验证构造计分是全部半径之和

帮助理解

哪里有优化空间

和正方形里一样，等圆是最差的策略之一：一个大圆压在圆心附近，或者几个大圆围成一圈，再让小圆钻进它们和圆周之间的缝隙。圆盘没有角，所以“靠墙的大圆”换成了“沿圆周的一圈”，大小的取舍换了一种几何。

前沿在哪里

Erich Friedman 的“最大化总周长”表列到 n = 50：n ≤ 4 和 6–10 是 Elser 与 Cantrell 的闭式构型，n = 5 是 Haowei Lin 2026 年 7 月的改进，n = 33–50 是 Jonathan Viquerat 2026 年 9 月新加的行。表还在被改写，没有一行有最优性证明；本站展示的是按图重建并精确验算的构型。

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构型与历史

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是圆心 (1, 1)、半径 1 的圆盘，所以坐标都在 [0, 2] 之内，不会出现负数。坐标与半径共用一套单位，直接写成小数，最多九位。

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成最多九位小数的十进制字符串，例如 "0.25"。容器是圆心 (1, 1)、半径 1 的闭圆盘。

起步布局答案

{
  "circles": [
    [
      "0.999806532",
      "0.547516772",
      "0.260815327"
    ],
    [
      "1.766847703",
      "1.072190083",
      "0.229761849"
    ],
    [
      "1.461748794",
      "0.383174241",
      "0.229489801"
    ],
    [
      "0.537723878",
      "0.383569361",
      "0.229489814"
    ],
    [
      "0.233214342",
      "1.072845936",
      "0.229761869"
    ],
    [
      "0.638198432",
      "1.688694291",
      "0.222053856"
    ],
    [
      "1.362390541",
      "1.688384567",
      "0.222053847"
    ],
    [
      "1.000012411",
      "1.028957317",
      "0.220625260"
    ],
    [
      "0.609086078",
      "0.826820198",
      "0.219468834"
    ],
    [
      "1.390765709",
      "0.826485927",
      "0.219468824"
    ],
    [
      "1.366667327",
      "1.255815410",
      "0.210536450"
    ],
    [
      "0.633551653",
      "1.256128932",
      "0.210536459"
    ],
    [
      "1.000195557",
      "1.457210650",
      "0.207628111"
    ],
    [
      "0.246893562",
      "0.666827264",
      "0.176487170"
    ],
    [
      "1.752821235",
      "0.666183294",
      "0.176487155"
    ],
    [
      "1.686051289",
      "1.464960709",
      "0.171232944"
    ],
    [
      "0.314346677",
      "1.465547345",
      "0.171232958"
    ],
    [
      "1.000356026",
      "1.832419326",
      "0.167580597"
    ],
    [
      "1.150561609",
      "0.164374531",
      "0.150918895"
    ],
    [
      "0.848723844",
      "0.164503595",
      "0.150918897"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 20
}

起步布局答案

{
  "circles": [
    [
      "0.999806532",
      "0.547516772",
      "0.260815327"
    ],
    [
      "1.766847703",
      "1.072190083",
      "0.229761849"
    ],
    [
      "1.461748794",
      "0.383174241",
      "0.229489801"
    ],
    [
      "0.537723878",
      "0.383569361",
      "0.229489814"
    ],
    [
      "0.233214342",
      "1.072845936",
      "0.229761869"
    ],
    [
      "0.638198432",
      "1.688694291",
      "0.222053856"
    ],
    [
      "1.362390541",
      "1.688384567",
      "0.222053847"
    ],
    [
      "1.000012411",
      "1.028957317",
      "0.220625260"
    ],
    [
      "0.609086078",
      "0.826820198",
      "0.219468834"
    ],
    [
      "1.390765709",
      "0.826485927",
      "0.219468824"
    ],
    [
      "1.366667327",
      "1.255815410",
      "0.210536450"
    ],
    [
      "0.633551653",
      "1.256128932",
      "0.210536459"
    ],
    [
      "1.000195557",
      "1.457210650",
      "0.207628111"
    ],
    [
      "0.246893562",
      "0.666827264",
      "0.176487170"
    ],
    [
      "1.752821235",
      "0.666183294",
      "0.176487155"
    ],
    [
      "1.686051289",
      "1.464960709",
      "0.171232944"
    ],
    [
      "0.314346677",
      "1.465547345",
      "0.171232958"
    ],
    [
      "1.000356026",
      "1.832419326",
      "0.167580597"
    ],
    [
      "1.150561609",
      "0.164374531",
      "0.150918895"
    ],
    [
      "0.848723844",
      "0.164503595",
      "0.150918897"
    ]
  ]
}

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成最多九位小数的十进制字符串，例如 "0.25"。容器是圆心 (1, 1)、半径 1 的闭圆盘。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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