P92 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

单位圆内圆的半径之和 · n = 15

在半径为 1 的圆内放置 n 个互不重叠的圆，每个圆的半径各自随意，使所有半径之和尽可能大。

子题n = 15

目标最大化半径之和

纪录对比

半径之和 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[3.480, 3.481]	见来源署名	Erich Friedman ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器圆心 (1, 1)、半径 1 的闭圆盘；圆可以与容器边界相切
提交恰好 n 个圆，每个是 [x, y, r]，r > 0，全部数字最多九位小数
约束每个圆完整落在圆盘内：(x − 1)² + (y − 1)² ≤ (1 − r)²；任意两圆内部不相交：圆心距 ≥ 半径之和。全部按整数精确判定，相切允许
分数半径之和，精确整数求和后按九位小数显示；越大越好 $S = Σ r$
目标在所有合法放置中最大化半径之和 $\max_{S} Σ r$

放大来摆，然后提交 ↗

当前展示：起步布局

2y0

123456789101112131415

0x2

已验证构造计分是全部半径之和

帮助理解

哪里有优化空间

和正方形里一样，等圆是最差的策略之一：一个大圆压在圆心附近，或者几个大圆围成一圈，再让小圆钻进它们和圆周之间的缝隙。圆盘没有角，所以“靠墙的大圆”换成了“沿圆周的一圈”，大小的取舍换了一种几何。

前沿在哪里

Erich Friedman 的“最大化总周长”表列到 n = 50：n ≤ 4 和 6–10 是 Elser 与 Cantrell 的闭式构型，n = 5 是 Haowei Lin 2026 年 7 月的改进，n = 33–50 是 Jonathan Viquerat 2026 年 9 月新加的行。表还在被改写，没有一行有最优性证明；本站展示的是按图重建并精确验算的构型。

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构型与历史

起步布局

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是圆心 (1, 1)、半径 1 的圆盘，所以坐标都在 [0, 2] 之内，不会出现负数。坐标与半径共用一套单位，直接写成小数，最多九位。

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成最多九位小数的十进制字符串，例如 "0.25"。容器是圆心 (1, 1)、半径 1 的闭圆盘。

起步布局答案

{
  "circles": [
    [
      "0.999766050",
      "0.291990980",
      "0.291990941"
    ],
    [
      "1.000078738",
      "1.238303083",
      "0.291755988"
    ],
    [
      "0.535780290",
      "1.559632381",
      "0.272890419"
    ],
    [
      "1.464589435",
      "1.559325483",
      "0.272890421"
    ],
    [
      "1.723386252",
      "0.800378136",
      "0.249575747"
    ],
    [
      "0.276481982",
      "0.800856233",
      "0.249575745"
    ],
    [
      "0.762342517",
      "0.765356989",
      "0.237579933"
    ],
    [
      "1.237502359",
      "0.765199982",
      "0.237579934"
    ],
    [
      "1.000252780",
      "1.765029501",
      "0.234970457"
    ],
    [
      "1.497278465",
      "0.393626524",
      "0.215796796"
    ],
    [
      "0.502320912",
      "0.393955288",
      "0.215796794"
    ],
    [
      "1.782331033",
      "1.230384459",
      "0.184451813"
    ],
    [
      "0.217821384",
      "1.230901410",
      "0.184451811"
    ],
    [
      "0.553995168",
      "1.116443360",
      "0.170672755"
    ],
    [
      "1.446081680",
      "1.116148592",
      "0.170672756"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 15
}

起步布局答案

{
  "circles": [
    [
      "0.999766050",
      "0.291990980",
      "0.291990941"
    ],
    [
      "1.000078738",
      "1.238303083",
      "0.291755988"
    ],
    [
      "0.535780290",
      "1.559632381",
      "0.272890419"
    ],
    [
      "1.464589435",
      "1.559325483",
      "0.272890421"
    ],
    [
      "1.723386252",
      "0.800378136",
      "0.249575747"
    ],
    [
      "0.276481982",
      "0.800856233",
      "0.249575745"
    ],
    [
      "0.762342517",
      "0.765356989",
      "0.237579933"
    ],
    [
      "1.237502359",
      "0.765199982",
      "0.237579934"
    ],
    [
      "1.000252780",
      "1.765029501",
      "0.234970457"
    ],
    [
      "1.497278465",
      "0.393626524",
      "0.215796796"
    ],
    [
      "0.502320912",
      "0.393955288",
      "0.215796794"
    ],
    [
      "1.782331033",
      "1.230384459",
      "0.184451813"
    ],
    [
      "0.217821384",
      "1.230901410",
      "0.184451811"
    ],
    [
      "0.553995168",
      "1.116443360",
      "0.170672755"
    ],
    [
      "1.446081680",
      "1.116148592",
      "0.170672756"
    ]
  ]
}

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成最多九位小数的十进制字符串，例如 "0.25"。容器是圆心 (1, 1)、半径 1 的闭圆盘。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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