P92 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

单位圆内圆的半径之和 · n = 21

在半径为 1 的圆内放置 n 个互不重叠的圆，每个圆的半径各自随意，使所有半径之和尽可能大。

子题n = 21

目标最大化半径之和

纪录对比

半径之和 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[4.181, 4.182]	见来源署名	Erich Friedman ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器圆心 (1, 1)、半径 1 的闭圆盘；圆可以与容器边界相切
提交恰好 n 个圆，每个是 [x, y, r]，r > 0，全部数字最多九位小数
约束每个圆完整落在圆盘内：(x − 1)² + (y − 1)² ≤ (1 − r)²；任意两圆内部不相交：圆心距 ≥ 半径之和。全部按整数精确判定，相切允许
分数半径之和，精确整数求和后按九位小数显示；越大越好 $S = Σ r$
目标在所有合法放置中最大化半径之和 $\max_{S} Σ r$

放大来摆，然后提交 ↗

当前展示：起步布局

2y0

123456789101112131415161718192021

0x2

已验证构造计分是全部半径之和

帮助理解

哪里有优化空间

和正方形里一样，等圆是最差的策略之一：一个大圆压在圆心附近，或者几个大圆围成一圈，再让小圆钻进它们和圆周之间的缝隙。圆盘没有角，所以“靠墙的大圆”换成了“沿圆周的一圈”，大小的取舍换了一种几何。

前沿在哪里

Erich Friedman 的“最大化总周长”表列到 n = 50：n ≤ 4 和 6–10 是 Elser 与 Cantrell 的闭式构型，n = 5 是 Haowei Lin 2026 年 7 月的改进，n = 33–50 是 Jonathan Viquerat 2026 年 9 月新加的行。表还在被改写，没有一行有最优性证明；本站展示的是按图重建并精确验算的构型。

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是圆心 (1, 1)、半径 1 的圆盘，所以坐标都在 [0, 2] 之内，不会出现负数。坐标与半径共用一套单位，直接写成小数，最多九位。

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成最多九位小数的十进制字符串，例如 "0.25"。容器是圆心 (1, 1)、半径 1 的闭圆盘。

起步布局答案

{
  "circles": [
    [
      "0.999994090",
      "0.976903721",
      "0.258930580"
    ],
    [
      "0.774823331",
      "0.258419226",
      "0.224986079"
    ],
    [
      "1.224795469",
      "0.258303578",
      "0.224986073"
    ],
    [
      "1.000199933",
      "1.777612861",
      "0.222387113"
    ],
    [
      "1.642384023",
      "1.444167891",
      "0.219011940"
    ],
    [
      "0.357844455",
      "1.444498120",
      "0.219011957"
    ],
    [
      "0.787224850",
      "1.398011905",
      "0.212877486"
    ],
    [
      "1.212979804",
      "1.397902453",
      "0.212877481"
    ],
    [
      "1.743772599",
      "0.743559768",
      "0.213260353"
    ],
    [
      "0.256095688",
      "0.743942160",
      "0.213260371"
    ],
    [
      "0.539168204",
      "1.057006893",
      "0.208805472"
    ],
    [
      "1.460861086",
      "1.056769965",
      "0.208805461"
    ],
    [
      "1.338121895",
      "0.667365985",
      "0.199484103"
    ],
    [
      "0.661707195",
      "0.667539847",
      "0.199484111"
    ],
    [
      "0.612110018",
      "1.736146860",
      "0.167911760"
    ],
    [
      "1.388268468",
      "1.735947312",
      "0.167911753"
    ],
    [
      "1.829226157",
      "1.110450293",
      "0.163450368"
    ],
    [
      "1.585388581",
      "0.402039690",
      "0.163198755"
    ],
    [
      "0.170830754",
      "1.110876601",
      "0.163450384"
    ],
    [
      "0.414304137",
      "0.402340682",
      "0.163198766"
    ],
    [
      "0.999887878",
      "0.563690625",
      "0.154282528"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 21
}

起步布局答案

{
  "circles": [
    [
      "0.999994090",
      "0.976903721",
      "0.258930580"
    ],
    [
      "0.774823331",
      "0.258419226",
      "0.224986079"
    ],
    [
      "1.224795469",
      "0.258303578",
      "0.224986073"
    ],
    [
      "1.000199933",
      "1.777612861",
      "0.222387113"
    ],
    [
      "1.642384023",
      "1.444167891",
      "0.219011940"
    ],
    [
      "0.357844455",
      "1.444498120",
      "0.219011957"
    ],
    [
      "0.787224850",
      "1.398011905",
      "0.212877486"
    ],
    [
      "1.212979804",
      "1.397902453",
      "0.212877481"
    ],
    [
      "1.743772599",
      "0.743559768",
      "0.213260353"
    ],
    [
      "0.256095688",
      "0.743942160",
      "0.213260371"
    ],
    [
      "0.539168204",
      "1.057006893",
      "0.208805472"
    ],
    [
      "1.460861086",
      "1.056769965",
      "0.208805461"
    ],
    [
      "1.338121895",
      "0.667365985",
      "0.199484103"
    ],
    [
      "0.661707195",
      "0.667539847",
      "0.199484111"
    ],
    [
      "0.612110018",
      "1.736146860",
      "0.167911760"
    ],
    [
      "1.388268468",
      "1.735947312",
      "0.167911753"
    ],
    [
      "1.829226157",
      "1.110450293",
      "0.163450368"
    ],
    [
      "1.585388581",
      "0.402039690",
      "0.163198755"
    ],
    [
      "0.170830754",
      "1.110876601",
      "0.163450384"
    ],
    [
      "0.414304137",
      "0.402340682",
      "0.163198766"
    ],
    [
      "0.999887878",
      "0.563690625",
      "0.154282528"
    ]
  ]
}

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成最多九位小数的十进制字符串，例如 "0.25"。容器是圆心 (1, 1)、半径 1 的闭圆盘。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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