P93 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

正三角形内圆的半径之和 · n = 24

在边长为 1 的正三角形内放置 n 个互不重叠的圆，每个圆的半径各自随意，使所有半径之和尽可能大。

子题n = 24

目标最大化半径之和

纪录对比

半径之和 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[1.655, 1.656)	见来源署名	Erich Friedman ↗
本站纪录	1.655464867	zzzcy	纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

容器顶点 (0, 0)、(1, 0)、(1/2, √3/2) 的闭正三角形；圆可以与边相切
提交恰好 n 个圆，每个是 [x, y, r]，r > 0，全部数字最多九位小数
约束每个圆完整落在三角形内：y ≥ r，√3·x − y ≥ 2r，√3·(1 − x) − y ≥ 2r；任意两圆内部不相交：圆心距 ≥ 半径之和。斜边条件化为整数平方比较，全部精确判定，相切允许
分数半径之和，精确整数求和后按九位小数显示；越大越好 $S = Σ r$
目标在所有合法放置中最大化半径之和 $\max_{S} Σ r$

放大来摆，然后提交 ↗

当前展示：本站纪录

0.866025404y0

123456789101112131415161718192021222324

0x1

已验证构造计分是全部半径之和

帮助理解

哪里有优化空间

等圆三角阵是最差的策略之一：一个大圆坐在中间，几个中等的圆塞进三个角，再让小圆钻进它们和三条边之间的缝隙，半径之和才会上去。角落既是浪费也是机会：一个刚好卡住角的小圆，几乎不占别人的位置。

前沿在哪里

Erich Friedman 的“最大化总周长”表列到 n = 30。其中 26 行来自 David W. Cantrell 2011 年的搜索，只公布到三位小数；n = 27、29、30 是 Haowei Lin 与 Jonathan Viquerat 2026 年的新行。除 n = 1 的内切圆外，没有一行有最优性证明；本站展示按图重建并精确验算的构型（n = 29 只引用数值）。n = 31–50 超出该表，目前没有公布的纪录，是完全开放的子题。

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纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

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历史纪录（1 次易主）

zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
1.655464862→1.655464867
2026-10-04

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 1 的正三角形：底边从 (0, 0) 到 (1, 0)，顶点在 (1/2, √3/2)。坐标与半径共用一套单位，直接写成小数，最多九位。

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成最多九位小数的十进制字符串，例如 "0.25"。容器是底边从 (0, 0) 到 (1, 0)、顶点在 (1/2, √3/2) 的正三角形。

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.500000000",
      "0.400564895",
      "0.092573946"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "0.699571033",
      "0.083227185"
    ],
    [
      "0.583227185",
      "0.555417320",
      "0.083227185"
    ],
    [
      "0.416772815",
      "0.555417320",
      "0.083227185"
    ],
    [
      "0.668626829",
      "0.419687740",
      "0.077133714"
    ],
    [
      "0.331373171",
      "0.419687740",
      "0.077133714"
    ],
    [
      "0.251501208",
      "0.296869687",
      "0.069371591"
    ],
    [
      "0.748498792",
      "0.296869687",
      "0.069371591"
    ],
    [
      "0.387766507",
      "0.286752124",
      "0.067268801"
    ],
    [
      "0.612233493",
      "0.286752124",
      "0.067268801"
    ],
    [
      "0.181149228",
      "0.180447481",
      "0.066656092"
    ],
    [
      "0.818850772",
      "0.180447480",
      "0.066656092"
    ],
    [
      "0.885762547",
      "0.065955024",
      "0.065955024"
    ],
    [
      "0.114237453",
      "0.065955024",
      "0.065955024"
    ],
    [
      "0.245453313",
      "0.065262662",
      "0.065262662"
    ],
    [
      "0.754546688",
      "0.065262662",
      "0.065262661"
    ],
    [
      "0.313174621",
      "0.177021977",
      "0.065413732"
    ],
    [
      "0.686825379",
      "0.177021976",
      "0.065413732"
    ],
    [
      "0.625815568",
      "0.063480790",
      "0.063480790"
    ],
    [
      "0.374184434",
      "0.063480790",
      "0.063480790"
    ],
    [
      "0.500000001",
      "0.062339949",
      "0.062339949"
    ],
    [
      "0.560819934",
      "0.169434732",
      "0.060819934"
    ],
    [
      "0.439180066",
      "0.169434732",
      "0.060819934"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "0.259846211",
      "0.048144738"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 24
}

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.500000000",
      "0.400564895",
      "0.092573946"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "0.699571033",
      "0.083227185"
    ],
    [
      "0.583227185",
      "0.555417320",
      "0.083227185"
    ],
    [
      "0.416772815",
      "0.555417320",
      "0.083227185"
    ],
    [
      "0.668626829",
      "0.419687740",
      "0.077133714"
    ],
    [
      "0.331373171",
      "0.419687740",
      "0.077133714"
    ],
    [
      "0.251501208",
      "0.296869687",
      "0.069371591"
    ],
    [
      "0.748498792",
      "0.296869687",
      "0.069371591"
    ],
    [
      "0.387766507",
      "0.286752124",
      "0.067268801"
    ],
    [
      "0.612233493",
      "0.286752124",
      "0.067268801"
    ],
    [
      "0.181149228",
      "0.180447481",
      "0.066656092"
    ],
    [
      "0.818850772",
      "0.180447480",
      "0.066656092"
    ],
    [
      "0.885762547",
      "0.065955024",
      "0.065955024"
    ],
    [
      "0.114237453",
      "0.065955024",
      "0.065955024"
    ],
    [
      "0.245453313",
      "0.065262662",
      "0.065262662"
    ],
    [
      "0.754546688",
      "0.065262662",
      "0.065262661"
    ],
    [
      "0.313174621",
      "0.177021977",
      "0.065413732"
    ],
    [
      "0.686825379",
      "0.177021976",
      "0.065413732"
    ],
    [
      "0.625815568",
      "0.063480790",
      "0.063480790"
    ],
    [
      "0.374184434",
      "0.063480790",
      "0.063480790"
    ],
    [
      "0.500000001",
      "0.062339949",
      "0.062339949"
    ],
    [
      "0.560819934",
      "0.169434732",
      "0.060819934"
    ],
    [
      "0.439180066",
      "0.169434732",
      "0.060819934"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "0.259846211",
      "0.048144738"
    ]
  ]
}

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成最多九位小数的十进制字符串，例如 "0.25"。容器是底边从 (0, 0) 到 (1, 0)、顶点在 (1/2, √3/2) 的正三角形。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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