P93 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

正三角形内圆的半径之和 · n = 25

在边长为 1 的正三角形内放置 n 个互不重叠的圆，每个圆的半径各自随意，使所有半径之和尽可能大。

子题n = 25

目标最大化半径之和

纪录对比

半径之和 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[1.690, 1.691)	见来源署名	Erich Friedman ↗
本站纪录	1.690709146	zzzcy	纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

容器顶点 (0, 0)、(1, 0)、(1/2, √3/2) 的闭正三角形；圆可以与边相切
提交恰好 n 个圆，每个是 [x, y, r]，r > 0，全部数字最多九位小数
约束每个圆完整落在三角形内：y ≥ r，√3·x − y ≥ 2r，√3·(1 − x) − y ≥ 2r；任意两圆内部不相交：圆心距 ≥ 半径之和。斜边条件化为整数平方比较，全部精确判定，相切允许
分数半径之和，精确整数求和后按九位小数显示；越大越好 $S = Σ r$
目标在所有合法放置中最大化半径之和 $\max_{S} Σ r$

放大来摆，然后提交 ↗

当前展示：本站纪录

0.866025404y0

12345678910111213141516171819202122232425

0x1

已验证构造计分是全部半径之和

帮助理解

哪里有优化空间

等圆三角阵是最差的策略之一：一个大圆坐在中间，几个中等的圆塞进三个角，再让小圆钻进它们和三条边之间的缝隙，半径之和才会上去。角落既是浪费也是机会：一个刚好卡住角的小圆，几乎不占别人的位置。

前沿在哪里

Erich Friedman 的“最大化总周长”表列到 n = 30。其中 26 行来自 David W. Cantrell 2011 年的搜索，只公布到三位小数；n = 27、29、30 是 Haowei Lin 与 Jonathan Viquerat 2026 年的新行。除 n = 1 的内切圆外，没有一行有最优性证明；本站展示按图重建并精确验算的构型（n = 29 只引用数值）。n = 31–50 超出该表，目前没有公布的纪录，是完全开放的子题。

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纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

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历史纪录（1 次易主）

zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
1.690709141→1.690709146
2026-10-04

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 1 的正三角形：底边从 (0, 0) 到 (1, 0)，顶点在 (1/2, √3/2)。坐标与半径共用一套单位，直接写成小数，最多九位。

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成最多九位小数的十进制字符串，例如 "0.25"。容器是底边从 (0, 0) 到 (1, 0)、顶点在 (1/2, √3/2) 的正三角形。

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.563574637",
      "0.349430614",
      "0.085567247"
    ],
    [
      "0.642685121",
      "0.207750055",
      "0.076703666"
    ],
    [
      "0.490118297",
      "0.205665035",
      "0.075877404"
    ],
    [
      "0.794472824",
      "0.205790131",
      "0.075096690"
    ],
    [
      "0.567372901",
      "0.075493059",
      "0.075493059"
    ],
    [
      "0.869473120",
      "0.075359729",
      "0.075359729"
    ],
    [
      "0.417670067",
      "0.074215227",
      "0.074215227"
    ],
    [
      "0.718489763",
      "0.075623859",
      "0.075623859"
    ],
    [
      "0.341633800",
      "0.199943693",
      "0.072717278"
    ],
    [
      "0.721817017",
      "0.335199540",
      "0.073313759"
    ],
    [
      "0.125353319",
      "0.072372772",
      "0.072372772"
    ],
    [
      "0.270593129",
      "0.072867881",
      "0.072867881"
    ],
    [
      "0.197054770",
      "0.197545599",
      "0.071881637"
    ],
    [
      "0.407947179",
      "0.328037421",
      "0.071523726"
    ],
    [
      "0.266487102",
      "0.321383706",
      "0.070092746"
    ],
    [
      "0.330364606",
      "0.441067341",
      "0.065570469"
    ],
    [
      "0.664032406",
      "0.457682163",
      "0.062115389"
    ],
    [
      "0.457496048",
      "0.452065925",
      "0.062035849"
    ],
    [
      "0.388208664",
      "0.552476620",
      "0.059960254"
    ],
    [
      "0.443981133",
      "0.655179553",
      "0.056909163"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "0.753509191",
      "0.056258106"
    ],
    [
      "0.503025353",
      "0.559993754",
      "0.055102247"
    ],
    [
      "0.556492269",
      "0.656946238",
      "0.055615842"
    ],
    [
      "0.612537811",
      "0.562237796",
      "0.054433200"
    ],
    [
      "0.560068625",
      "0.478952366",
      "0.044001947"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 25
}

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.563574637",
      "0.349430614",
      "0.085567247"
    ],
    [
      "0.642685121",
      "0.207750055",
      "0.076703666"
    ],
    [
      "0.490118297",
      "0.205665035",
      "0.075877404"
    ],
    [
      "0.794472824",
      "0.205790131",
      "0.075096690"
    ],
    [
      "0.567372901",
      "0.075493059",
      "0.075493059"
    ],
    [
      "0.869473120",
      "0.075359729",
      "0.075359729"
    ],
    [
      "0.417670067",
      "0.074215227",
      "0.074215227"
    ],
    [
      "0.718489763",
      "0.075623859",
      "0.075623859"
    ],
    [
      "0.341633800",
      "0.199943693",
      "0.072717278"
    ],
    [
      "0.721817017",
      "0.335199540",
      "0.073313759"
    ],
    [
      "0.125353319",
      "0.072372772",
      "0.072372772"
    ],
    [
      "0.270593129",
      "0.072867881",
      "0.072867881"
    ],
    [
      "0.197054770",
      "0.197545599",
      "0.071881637"
    ],
    [
      "0.407947179",
      "0.328037421",
      "0.071523726"
    ],
    [
      "0.266487102",
      "0.321383706",
      "0.070092746"
    ],
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      "0.330364606",
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      "0.065570469"
    ],
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      "0.664032406",
      "0.457682163",
      "0.062115389"
    ],
    [
      "0.457496048",
      "0.452065925",
      "0.062035849"
    ],
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      "0.388208664",
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    ],
    [
      "0.500000000",
      "0.753509191",
      "0.056258106"
    ],
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      "0.503025353",
      "0.559993754",
      "0.055102247"
    ],
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      "0.055615842"
    ],
    [
      "0.612537811",
      "0.562237796",
      "0.054433200"
    ],
    [
      "0.560068625",
      "0.478952366",
      "0.044001947"
    ]
  ]
}

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成最多九位小数的十进制字符串，例如 "0.25"。容器是底边从 (0, 0) 到 (1, 0)、顶点在 (1/2, √3/2) 的正三角形。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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