P93 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

正三角形内圆的半径之和 · n = 19

在边长为 1 的正三角形内放置 n 个互不重叠的圆，每个圆的半径各自随意，使所有半径之和尽可能大。

子题n = 19

目标最大化半径之和

纪录对比

半径之和 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[1.462, 1.463)	见来源署名	Erich Friedman ↗
本站纪录	1.462375773	zzzcy	纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

容器顶点 (0, 0)、(1, 0)、(1/2, √3/2) 的闭正三角形；圆可以与边相切
提交恰好 n 个圆，每个是 [x, y, r]，r > 0，全部数字最多九位小数
约束每个圆完整落在三角形内：y ≥ r，√3·x − y ≥ 2r，√3·(1 − x) − y ≥ 2r；任意两圆内部不相交：圆心距 ≥ 半径之和。斜边条件化为整数平方比较，全部精确判定，相切允许
分数半径之和，精确整数求和后按九位小数显示；越大越好 $S = Σ r$
目标在所有合法放置中最大化半径之和 $\max_{S} Σ r$

放大来摆，然后提交 ↗

当前展示：本站纪录

0.866025404y0

12345678910111213141516171819

0x1

已验证构造计分是全部半径之和

帮助理解

哪里有优化空间

等圆三角阵是最差的策略之一：一个大圆坐在中间，几个中等的圆塞进三个角，再让小圆钻进它们和三条边之间的缝隙，半径之和才会上去。角落既是浪费也是机会：一个刚好卡住角的小圆，几乎不占别人的位置。

前沿在哪里

Erich Friedman 的“最大化总周长”表列到 n = 30。其中 26 行来自 David W. Cantrell 2011 年的搜索，只公布到三位小数；n = 27、29、30 是 Haowei Lin 与 Jonathan Viquerat 2026 年的新行。除 n = 1 的内切圆外，没有一行有最优性证明；本站展示按图重建并精确验算的构型（n = 29 只引用数值）。n = 31–50 超出该表，目前没有公布的纪录，是完全开放的子题。

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构型与历史

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纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

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历史纪录（1 次易主）

zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
1.46237577→1.462375773
2026-10-04

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 1 的正三角形：底边从 (0, 0) 到 (1, 0)，顶点在 (1/2, √3/2)。坐标与半径共用一套单位，直接写成小数，最多九位。

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成最多九位小数的十进制字符串，例如 "0.25"。容器是底边从 (0, 0) 到 (1, 0)、顶点在 (1/2, √3/2) 的正三角形。

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.114528898",
      "0.066123290",
      "0.066123290"
    ],
    [
      "0.410606525",
      "0.538205574",
      "0.086492894"
    ],
    [
      "0.247524711",
      "0.066874645",
      "0.066874644"
    ],
    [
      "0.679106805",
      "0.376832464",
      "0.089485426"
    ],
    [
      "0.446373337",
      "0.199780242",
      "0.072881649"
    ],
    [
      "0.690510563",
      "0.081834808",
      "0.081834808"
    ],
    [
      "0.855668459",
      "0.083329854",
      "0.083329854"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "0.688783403",
      "0.088621000"
    ],
    [
      "0.489029826",
      "0.368132427",
      "0.100790552"
    ],
    [
      "0.770255517",
      "0.228214479",
      "0.084857319"
    ],
    [
      "0.601617765",
      "0.221720116",
      "0.083905436"
    ],
    [
      "0.587812600",
      "0.532306861",
      "0.090811329"
    ],
    [
      "0.531892942",
      "0.076860783",
      "0.076860783"
    ],
    [
      "0.243171401",
      "0.293123218",
      "0.064031001"
    ],
    [
      "0.179638389",
      "0.180379012",
      "0.065381902"
    ],
    [
      "0.309765031",
      "0.182875106",
      "0.064768677"
    ],
    [
      "0.358875981",
      "0.288553527",
      "0.051763781"
    ],
    [
      "0.384763672",
      "0.070409841",
      "0.070409841"
    ],
    [
      "0.319509591",
      "0.407103671",
      "0.073151587"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 19
}

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.114528898",
      "0.066123290",
      "0.066123290"
    ],
    [
      "0.410606525",
      "0.538205574",
      "0.086492894"
    ],
    [
      "0.247524711",
      "0.066874645",
      "0.066874644"
    ],
    [
      "0.679106805",
      "0.376832464",
      "0.089485426"
    ],
    [
      "0.446373337",
      "0.199780242",
      "0.072881649"
    ],
    [
      "0.690510563",
      "0.081834808",
      "0.081834808"
    ],
    [
      "0.855668459",
      "0.083329854",
      "0.083329854"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "0.688783403",
      "0.088621000"
    ],
    [
      "0.489029826",
      "0.368132427",
      "0.100790552"
    ],
    [
      "0.770255517",
      "0.228214479",
      "0.084857319"
    ],
    [
      "0.601617765",
      "0.221720116",
      "0.083905436"
    ],
    [
      "0.587812600",
      "0.532306861",
      "0.090811329"
    ],
    [
      "0.531892942",
      "0.076860783",
      "0.076860783"
    ],
    [
      "0.243171401",
      "0.293123218",
      "0.064031001"
    ],
    [
      "0.179638389",
      "0.180379012",
      "0.065381902"
    ],
    [
      "0.309765031",
      "0.182875106",
      "0.064768677"
    ],
    [
      "0.358875981",
      "0.288553527",
      "0.051763781"
    ],
    [
      "0.384763672",
      "0.070409841",
      "0.070409841"
    ],
    [
      "0.319509591",
      "0.407103671",
      "0.073151587"
    ]
  ]
}

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成最多九位小数的十进制字符串，例如 "0.25"。容器是底边从 (0, 0) 到 (1, 0)、顶点在 (1/2, √3/2) 的正三角形。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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