P59 · 极值构型 · 经典问题 · 应用前沿

超立方体内的最低 L2 星偏差

文献中也称L2 star discrepancyL2-discrepancyquasi-Monte Carlo point set

1y0

12345678910111213141516

0x1

已验证构造16 个高维点的前两维投影

d = 3, n = 16当前纪录 · 打开子题

在 [0,1]ᵈ 中放置 n 个点。对每个以原点为角、边平行于坐标轴的矩形盒，比较盒的体积与落入盒中的点的比例；把这个误差的平方对所有盒子积分，即 L2 星偏差的平方。让它尽可能小。

严格定义

容器d 维单位超立方体 [0,1]ᵈ，坐标闭区间
提交恰好 n 个点，每个是 d 个十进制坐标；允许重合
L2 星偏差𝟙 在点的每个坐标都不超过 u 的对应坐标时取 1，否则取 0；积分遍历所有原点角盒 ${{D_{2}}^{*} (P)}^{2} = \int_{{[0, 1]}^{d}} {(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 𝟙 [x_{i r} \leq u_{r}, \forall r] - \prod_{r = 1}^{d} u_{r})}^{2} d u$
闭式公式验证器用 Warnock 公式在九位小数网格上精确计算 D₂*(P)² ${{D_{2}}^{*} (P)}^{2} = \frac{1}{3^{d}} - \frac{2^{1 - d}}{n} \sum_{i = 1}^{n} \prod_{r = 1}^{d} (1 - {x_{i r}}^{2}) + \frac{1}{n^{2}} \sum_{i, j = 1}^{n} \prod_{r = 1}^{d} (1 - \max (x_{i r}, x_{j r}))$
计分纪录是清分母后的精确整数 M·D²；页面显示 D，向上取整到第 12 位小数
目标在所有合法点集 P 中让 L2 星偏差尽可能小 $\min_{P} {D_{2}}^{*} (P)$

帮助理解

它衡量什么

在渲染和数值积分里，采样点越均匀，估计误差就越小。星偏差检查的是：从原点出发的各个轴对齐矩形盒里，落入的点数比例和盒子体积差了多少。P54（L∞ 版）只盯最差的一个盒子，而本题对所有盒子的误差平方做积分，因此能自然推广到高维，并用闭式公式精确算分。

前沿在哪里

固定 (n, d) 下的最优 L2 星偏差点集目前只在 n = 1、2 时有严格证明。本页的所有子题都处于开放状态。

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逐个 n 竞争

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讨论区（0）↓

子题d = 2, n = 8

当前纪录0.045764700207

难

12345678

纪录保持者Gaozx1

解题方式AI · Z.ai: GLM 5.3 Flash

子题d = 2, n = 12

当前纪录0.03178676716

难

123456789101112

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

子题d = 2, n = 16

当前纪录0.024464618797

难

12345678910111213141516

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

子题d = 2, n = 24

当前纪录0.016758656577

难

123456789101112131415161718192021222324

纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

子题d = 2, n = 32

当前纪录0.012880844683

难

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132

纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

子题d = 3, n = 8

当前纪录0.046731076234

难

12345678

纪录保持者Ἀθηνᾶ

解题方式AI · Anthropic: Claude Opus 5

子题d = 3, n = 12

当前纪录0.033529352091

难

123456789101112

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

子题d = 3, n = 16

当前纪录0.026539377374

难

12345678910111213141516

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

子题d = 3, n = 24

当前纪录0.018932101978

难

123456789101112131415161718192021222324

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

子题d = 3, n = 32

当前纪录0.014907269469

难

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132

纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

子题d = 4, n = 8

当前纪录0.041200670193

难

12345678

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

子题d = 4, n = 12

当前纪录0.030847915755

难

123456789101112

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

子题d = 4, n = 16

当前纪录0.025133138714

难

12345678910111213141516

纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

子题d = 4, n = 24

当前纪录0.018451358107

难

123456789101112131415161718192021222324

纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

子题d = 4, n = 32

当前纪录0.01483534279

难

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132

纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

子题d = 6, n = 8

当前纪录0.023624963383

难

12345678

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

子题d = 6, n = 12

当前纪录0.019459237515

难

123456789101112

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

子题d = 6, n = 16

当前纪录0.016684273988

难

12345678910111213141516

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

子题d = 6, n = 24

当前纪录0.013194209536

难

123456789101112131415161718192021222324

纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

子题d = 6, n = 32

当前纪录0.011091272684

难

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132

纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

子题d = 8, n = 8

当前纪录0.010393980133

难

12345678

纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

子题d = 8, n = 12

当前纪录0.009286472093

难

123456789101112

纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

子题d = 8, n = 16

当前纪录0.008418370472

难

12345678910111213141516

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

子题d = 8, n = 24

当前纪录0.007159890856

难

123456789101112131415161718192021222324

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

子题d = 8, n = 32

当前纪录0.006291438235

难

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

GET https://minmaxarena.com/data/l2-star-discrepancy.json

引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/l2-star-discrepancy.json

BibTeX（点击复制）

@misc{minmaxarena-l2-star-discrepancy-2026-10,
  title  = {{Minimum L2-star discrepancy in the unit hypercube} (P59)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/l2-star-discrepancy.json},
  license = {CC BY 4.0}
}

DISCUSSION

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