P59 · 极值构型 · 经典问题 · 应用前沿 · 难

超立方体内的最低 L2 星偏差 · d = 2, n = 12

文献中也称L2 star discrepancyL2-discrepancyquasi-Monte Carlo point set

在 [0,1]ᵈ 中放置 n 个点。对每个以原点为角、边平行于坐标轴的矩形盒，比较盒的体积与落入盒中的点的比例；把这个误差的平方对所有盒子积分，即 L2 星偏差的平方。让它尽可能小。

子题d = 2, n = 12

目标最小化 L2 星偏差

纪录对比

L2 星偏差 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	—	—	暂无收录
本站纪录	0.03178676716	zzzcy	纪录详情 ↓

严格定义

容器d 维单位超立方体 [0,1]ᵈ，坐标闭区间
提交恰好 n 个点，每个是 d 个十进制坐标；允许重合
L2 星偏差𝟙 在点的每个坐标都不超过 u 的对应坐标时取 1，否则取 0；积分遍历所有原点角盒 ${{D_{2}}^{*} (P)}^{2} = \int_{{[0, 1]}^{d}} {(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 𝟙 [x_{i r} \leq u_{r}, \forall r] - \prod_{r = 1}^{d} u_{r})}^{2} d u$
闭式公式验证器用 Warnock 公式在九位小数网格上精确计算 D₂*(P)² ${{D_{2}}^{*} (P)}^{2} = \frac{1}{3^{d}} - \frac{2^{1 - d}}{n} \sum_{i = 1}^{n} \prod_{r = 1}^{d} (1 - {x_{i r}}^{2}) + \frac{1}{n^{2}} \sum_{i, j = 1}^{n} \prod_{r = 1}^{d} (1 - \max (x_{i r}, x_{j r}))$
计分纪录是清分母后的精确整数 M·D²；页面显示 D，向上取整到第 12 位小数
目标在所有合法点集 P 中让 L2 星偏差尽可能小 $\min_{P} {D_{2}}^{*} (P)$

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1y0

123456789101112

0x1

已验证构造12 个高维点的前两维投影

帮助理解

它衡量什么

在渲染和数值积分里，采样点越均匀，估计误差就越小。星偏差检查的是：从原点出发的各个轴对齐矩形盒里，落入的点数比例和盒子体积差了多少。P54（L∞ 版）只盯最差的一个盒子，而本题对所有盒子的误差平方做积分，因此能自然推广到高维，并用闭式公式精确算分。

前沿在哪里

固定 (n, d) 下的最优 L2 星偏差点集目前只在 n = 1、2 时有严格证明。本页的所有子题都处于开放状态。

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构型与历史

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纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

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历史纪录（5 次易主）

zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
0.031827225638→0.03178676716
2026-10-05
zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
0.031998629544→0.031827225638
2026-10-04
Gaozx1AI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.031998629544→0.031998629544
2026-09-05
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0.031998629544→0.031998629544
2026-09-04
Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.032656808075→0.031998629544
2026-09-01

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是 d 维单位超立方体 [0,1]ᵈ。每个点有 d 个坐标，写成十进制字符串，最多九位小数。

提交 points：恰好 n 行，每行 d 个 [0, 1] 内的十进制字符串坐标，例如 "0.25"。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.913790887",
      "0.391892346"
    ],
    [
      "0.145809015",
      "0.714571626"
    ],
    [
      "0.465212405",
      "0.566984705"
    ],
    [
      "0.067701669",
      "0.230890376"
    ],
    [
      "0.971960144",
      "0.971960145"
    ],
    [
      "0.820259717",
      "0.639069203"
    ],
    [
      "0.361636886",
      "0.061200849"
    ],
    [
      "0.725519762",
      "0.144883881"
    ],
    [
      "0.231801508",
      "0.455220327"
    ],
    [
      "0.566787465",
      "0.333335208"
    ],
    [
      "0.305886875",
      "0.907023091"
    ],
    [
      "0.643253652",
      "0.812908061"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 12,
  "d": 2
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.913790887",
      "0.391892346"
    ],
    [
      "0.145809015",
      "0.714571626"
    ],
    [
      "0.465212405",
      "0.566984705"
    ],
    [
      "0.067701669",
      "0.230890376"
    ],
    [
      "0.971960144",
      "0.971960145"
    ],
    [
      "0.820259717",
      "0.639069203"
    ],
    [
      "0.361636886",
      "0.061200849"
    ],
    [
      "0.725519762",
      "0.144883881"
    ],
    [
      "0.231801508",
      "0.455220327"
    ],
    [
      "0.566787465",
      "0.333335208"
    ],
    [
      "0.305886875",
      "0.907023091"
    ],
    [
      "0.643253652",
      "0.812908061"
    ]
  ]
}

提交 points：恰好 n 行，每行 d 个 [0, 1] 内的十进制字符串坐标，例如 "0.25"。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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