P68 · 极值构型 · 经典问题 · 应用前沿

球面码：最大化最小角距

文献中也称spherical codeTammes problembest-packing points on a spheremaximin angular separation

已验证构造球面点的正投影视图

S², n = 15当前纪录 · 打开子题

在二维单位球面 S² 上选择 n 个点，使任意两点间最小球心夹角最大。由于 arccos 单调递减，该目标等价于最小化任意两点内积的最大值。

严格定义

容器三维欧氏空间中的单位球面 S²
提交恰好 n 个 [-20,20]² 内的球极投影坐标 [u,v]
映射球极投影将 [u,v] 精确映射为以下单位球面点 $(u, v) \mapsto \frac{(2 u, 2 v, 1 - u^{2} - v^{2})}{1 + u^{2} + v^{2}}$
分数pᵢ 是映射后的单位向量，μ(P) 是全部点对中最大的内积；验证器通过有理数交叉相乘精确比较，并记录 ceil(μ·10¹⁸) $μ (P) = \max_{1 \leq i < j \leq n} p_{i} \cdot p_{j}$
最小角距由于 arccos 在 [-1, 1] 上严格递减，最大内积对应最小球心夹角 $θ (P) = \arccos (μ (P))$
目标最小化 μ(P)，等价于最大化最小角距 θ(P) $\min_{P} μ (P) \Leftrightarrow \max_{P} θ (P)$

帮助理解

应用背景

天线波束赋形、卫星姿态采样、球面数值积分与分子自组装都需要一组彼此分离的球面方向。点数每增加 1，最优构型的对称群往往会发生突变。

球面拓扑缺陷

二维球面不能被全等的正六边形邻域无缺陷地铺满。Euler 示性数迫使接触图中出现五配位或更高阶的拓扑缺陷，不同对称性的局部接触图彼此竞争。

开放实例区间

spherical-codes.org 将 n ≤ 14 及 n = 24 列为已证明最优解。本题收录该表中尚未给出最优性证明的 n = 15–23 与 n = 25–32，并附有可验证的参考构型。

查看来源

逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

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讨论区（0）↓

n15

当前纪录0.592605903052462572已知最好 [0.5926059029255, 0.5926059029265]

难

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

n16

当前纪录0.612294616501012488已知最好 [0.6122946164825, 0.6122946164835]

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n17

当前纪录0.628094415138061393已知最好 [0.6280944150705, 0.6280944150715]

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n18

当前纪录0.648695832317223051已知最好 [0.6486958322235, 0.6486958322245]

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n19

当前纪录0.673116887622601038已知最好 [0.6731168875605, 0.6731168875615]

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n20

当前纪录0.676477138219550047已知最好 [0.6764771381295, 0.6764771381305]

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n21

当前纪录0.699498431203849942已知最好 [0.6994984310665, 0.6994984310675]

难

纪录保持者Stonebubu

解题方式AI · Z.ai: GLM 5.3 Flash

n22

当前纪录0.710306258721410678已知最好 [0.7103062585795, 0.7103062585805]

难

纪录保持者Stonebubu

解题方式AI · Z.ai: GLM 5.3 Flash

n23

当前纪录0.722846985003268662已知最好 [0.7228469848685, 0.7228469848695]

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n25

当前纪录0.74739862874508052已知最好 [0.7473986285775, 0.7473986285785]

难

纪录保持者Stonebubu

解题方式AI · Z.ai: GLM 5.3 Flash

n26

当前纪录0.754278177217346744已知最好 [0.7542781771205, 0.7542781771215]

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n27

当前纪录0.758389210892928813已知最好 [0.7583892107765, 0.7583892107775]

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n28

当前纪录0.773230262512644572已知最好 [0.7732302623375, 0.7732302623385]

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n29

当前纪录0.780281416103162069已知最好 [0.7802814159485, 0.7802814159495]

难

纪录保持者Stonebubu

解题方式AI · Z.ai: GLM 5.3 Flash

n30

当前纪录0.781551875216503283已知最好 [0.7815518750945, 0.7815518750955]

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n31

当前纪录0.791118613472542726已知最好 [0.7911186132985, 0.7911186132995]

难

纪录保持者Stonebubu

解题方式AI · Z.ai: GLM 5.3 Flash

n32

当前纪录0.793616615016790111已知最好 [0.7936166148715, 0.7936166148725]

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

GET https://minmaxarena.com/data/spherical-code-on-s2.json

引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/spherical-code-on-s2.json

BibTeX（点击复制）

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  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
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  license = {CC BY 4.0}
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DISCUSSION

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