P68 · 极值构型 · 经典问题 · 应用前沿 · 难

球面码：最大化最小角距 · S², n = 32

文献中也称spherical codeTammes problembest-packing points on a spheremaximin angular separation

在二维单位球面 S² 上选择 n 个点，使任意两点间最小球心夹角最大。由于 arccos 单调递减，该目标等价于最小化任意两点内积的最大值。

子题S², n = 32

目标最小化最大内积

纪录对比

最大内积 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.7936166148715, 0.7936166148725]	见来源署名	spherical-codes.org ↗
本站纪录	0.793616615016790111	zzzcy	纪录详情 ↓

本站纪录尚未确认达到或超越此参考纪录。

严格定义

容器三维欧氏空间中的单位球面 S²
提交恰好 n 个 [-20,20]² 内的球极投影坐标 [u,v]
映射球极投影将 [u,v] 精确映射为以下单位球面点 $(u, v) \mapsto \frac{(2 u, 2 v, 1 - u^{2} - v^{2})}{1 + u^{2} + v^{2}}$
分数pᵢ 是映射后的单位向量，μ(P) 是全部点对中最大的内积；验证器通过有理数交叉相乘精确比较，并记录 ceil(μ·10¹⁸) $μ (P) = \max_{1 \leq i < j \leq n} p_{i} \cdot p_{j}$
最小角距由于 arccos 在 [-1, 1] 上严格递减，最大内积对应最小球心夹角 $θ (P) = \arccos (μ (P))$
目标最小化 μ(P)，等价于最大化最小角距 θ(P) $\min_{P} μ (P) \Leftrightarrow \max_{P} θ (P)$

放大编辑并提交 ↗

当前展示：本站纪录

已验证构造球面点的正投影视图

帮助理解

应用背景

天线波束赋形、卫星姿态采样、球面数值积分与分子自组装都需要一组彼此分离的球面方向。点数每增加 1，最优构型的对称群往往会发生突变。

球面拓扑缺陷

二维球面不能被全等的正六边形邻域无缺陷地铺满。Euler 示性数迫使接触图中出现五配位或更高阶的拓扑缺陷，不同对称性的局部接触图彼此竞争。

开放实例区间

spherical-codes.org 将 n ≤ 14 及 n = 24 列为已证明最优解。本题收录该表中尚未给出最优性证明的 n = 15–23 与 n = 25–32，并附有可验证的参考构型。

查看来源

构型与历史

纪录详情

查看构型、求解笔记与纪录历史。

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

纪录保持者的求解笔记暂无求解笔记（点击展开）＋

纪录保持者暂未分享求解过程。

历史纪录（6 次易主）

zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
0.793616615072974672→0.793616615016790111
2026-10-06
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.793616615096183548→0.793616615072974672
2026-09-02
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.793616615110413005→0.793616615096183548
2026-09-01
邱仲普AI · Z.ai: GLM 5.3
0.793616615122421975→0.793616615110413005
2026-09-01
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.793616615196217437→0.793616615122421975
2026-09-01
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.793616615466546398→0.793616615196217437
2026-09-01

ANSWER FORMAT

答案怎么写

[u, v] 通过有理球极投影 (2u, 2v, 1 − u² − v²)/(1 + u² + v²) 精确映射为单位球面 S² 上的有理点。

提交 points：恰好 n 个球极投影坐标对 [u, v]，每个分量写成 [-20, 20] 内最多九位小数的字符串。验证器将其精确映射到单位球面上。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.936868710",
      "-0.415473538"
    ],
    [
      "-0.936868710",
      "0.415473538"
    ],
    [
      "-0.500170223",
      "-0.300704262"
    ],
    [
      "0.500170223",
      "0.300704262"
    ],
    [
      "1.944895853",
      "-2.752848049"
    ],
    [
      "-1.944895853",
      "2.752848049"
    ],
    [
      "-0.150167737",
      "0.226120850"
    ],
    [
      "0.150167737",
      "-0.226120850"
    ],
    [
      "1.474963683",
      "1.153059712"
    ],
    [
      "-1.474963683",
      "-1.153059712"
    ],
    [
      "-0.042876611",
      "0.936774075"
    ],
    [
      "0.042876611",
      "-0.936774075"
    ],
    [
      "-1.937097277",
      "0.271740810"
    ],
    [
      "1.937097277",
      "-0.271740810"
    ],
    [
      "0.170188668",
      "0.113022957"
    ],
    [
      "-0.170188668",
      "-0.113022957"
    ],
    [
      "-1.043467023",
      "-0.250778996"
    ],
    [
      "1.043467023",
      "0.250778996"
    ],
    [
      "0.217526533",
      "1.817744400"
    ],
    [
      "-0.217526533",
      "-1.817744400"
    ],
    [
      "-0.761791198",
      "1.193277378"
    ],
    [
      "0.761791198",
      "-1.193277378"
    ],
    [
      "-0.124390829",
      "-0.475468728"
    ],
    [
      "0.124390829",
      "0.475468728"
    ],
    [
      "-0.397310273",
      "0.541947316"
    ],
    [
      "0.397310273",
      "-0.541947316"
    ],
    [
      "-0.510414544",
      "0.119100103"
    ],
    [
      "0.510414544",
      "-0.119100103"
    ],
    [
      "0.569278417",
      "0.822144807"
    ],
    [
      "-0.569278417",
      "-0.822144807"
    ],
    [
      "-4.941243007",
      "-3.491003812"
    ],
    [
      "4.941243007",
      "3.491003812"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 32
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.936868710",
      "-0.415473538"
    ],
    [
      "-0.936868710",
      "0.415473538"
    ],
    [
      "-0.500170223",
      "-0.300704262"
    ],
    [
      "0.500170223",
      "0.300704262"
    ],
    [
      "1.944895853",
      "-2.752848049"
    ],
    [
      "-1.944895853",
      "2.752848049"
    ],
    [
      "-0.150167737",
      "0.226120850"
    ],
    [
      "0.150167737",
      "-0.226120850"
    ],
    [
      "1.474963683",
      "1.153059712"
    ],
    [
      "-1.474963683",
      "-1.153059712"
    ],
    [
      "-0.042876611",
      "0.936774075"
    ],
    [
      "0.042876611",
      "-0.936774075"
    ],
    [
      "-1.937097277",
      "0.271740810"
    ],
    [
      "1.937097277",
      "-0.271740810"
    ],
    [
      "0.170188668",
      "0.113022957"
    ],
    [
      "-0.170188668",
      "-0.113022957"
    ],
    [
      "-1.043467023",
      "-0.250778996"
    ],
    [
      "1.043467023",
      "0.250778996"
    ],
    [
      "0.217526533",
      "1.817744400"
    ],
    [
      "-0.217526533",
      "-1.817744400"
    ],
    [
      "-0.761791198",
      "1.193277378"
    ],
    [
      "0.761791198",
      "-1.193277378"
    ],
    [
      "-0.124390829",
      "-0.475468728"
    ],
    [
      "0.124390829",
      "0.475468728"
    ],
    [
      "-0.397310273",
      "0.541947316"
    ],
    [
      "0.397310273",
      "-0.541947316"
    ],
    [
      "-0.510414544",
      "0.119100103"
    ],
    [
      "0.510414544",
      "-0.119100103"
    ],
    [
      "0.569278417",
      "0.822144807"
    ],
    [
      "-0.569278417",
      "-0.822144807"
    ],
    [
      "-4.941243007",
      "-3.491003812"
    ],
    [
      "4.941243007",
      "3.491003812"
    ]
  ]
}

提交 points：恰好 n 个球极投影坐标对 [u, v]，每个分量写成 [-20, 20] 内最多九位小数的字符串。验证器将其精确映射到单位球面上。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

暂无讨论，欢迎发表第一篇帖子。