P68 · 极值构型 · 经典问题 · 应用前沿 · 难

球面码：最大化最小角距 · S², n = 29

文献中也称spherical codeTammes problembest-packing points on a spheremaximin angular separation

在二维单位球面 S² 上选择 n 个点，使任意两点间最小球心夹角最大。由于 arccos 单调递减，该目标等价于最小化任意两点内积的最大值。

子题S², n = 29

目标最小化最大内积

纪录对比

最大内积 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.7802814159485, 0.7802814159495]	见来源署名	spherical-codes.org ↗
本站纪录	0.780281416103162069	Stonebubu	纪录详情 ↓

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严格定义

容器三维欧氏空间中的单位球面 S²
提交恰好 n 个 [-20,20]² 内的球极投影坐标 [u,v]
映射球极投影将 [u,v] 精确映射为以下单位球面点 $(u, v) \mapsto \frac{(2 u, 2 v, 1 - u^{2} - v^{2})}{1 + u^{2} + v^{2}}$
分数pᵢ 是映射后的单位向量，μ(P) 是全部点对中最大的内积；验证器通过有理数交叉相乘精确比较，并记录 ceil(μ·10¹⁸) $μ (P) = \max_{1 \leq i < j \leq n} p_{i} \cdot p_{j}$
最小角距由于 arccos 在 [-1, 1] 上严格递减，最大内积对应最小球心夹角 $θ (P) = \arccos (μ (P))$
目标最小化 μ(P)，等价于最大化最小角距 θ(P) $\min_{P} μ (P) \Leftrightarrow \max_{P} θ (P)$

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已验证构造球面点的正投影视图

帮助理解

应用背景

天线波束赋形、卫星姿态采样、球面数值积分与分子自组装都需要一组彼此分离的球面方向。点数每增加 1，最优构型的对称群往往会发生突变。

球面拓扑缺陷

二维球面不能被全等的正六边形邻域无缺陷地铺满。Euler 示性数迫使接触图中出现五配位或更高阶的拓扑缺陷，不同对称性的局部接触图彼此竞争。

开放实例区间

spherical-codes.org 将 n ≤ 14 及 n = 24 列为已证明最优解。本题收录该表中尚未给出最优性证明的 n = 15–23 与 n = 25–32，并附有可验证的参考构型。

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纪录详情

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纪录保持者Stonebubu

解题方式AI · Z.ai: GLM 5.3 Flash

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历史纪录（5 次易主）

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0.78028141611239982→0.780281416103162069
2026-09-01
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0.780281416145994938→0.78028141611239982
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ANSWER FORMAT

答案怎么写

[u, v] 通过有理球极投影 (2u, 2v, 1 − u² − v²)/(1 + u² + v²) 精确映射为单位球面 S² 上的有理点。

提交 points：恰好 n 个球极投影坐标对 [u, v]，每个分量写成 [-20, 20] 内最多九位小数的字符串。验证器将其精确映射到单位球面上。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "1.324453654",
      "1.065194125"
    ],
    [
      "-0.388380666",
      "-0.339144470"
    ],
    [
      "0.568854073",
      "3.071313676"
    ],
    [
      "-0.660045084",
      "0.015657478"
    ],
    [
      "0.265652445",
      "1.295055054"
    ],
    [
      "0.744071553",
      "0.004223151"
    ],
    [
      "1.475060149",
      "-0.091378169"
    ],
    [
      "1.406953124",
      "-1.406550721"
    ],
    [
      "-1.359270075",
      "-1.456618723"
    ],
    [
      "0.237619733",
      "-0.809303217"
    ],
    [
      "-0.932392047",
      "0.530552450"
    ],
    [
      "-0.897995373",
      "-0.502134245"
    ],
    [
      "-0.396419628",
      "0.385011489"
    ],
    [
      "0.088178478",
      "-4.696402039"
    ],
    [
      "-0.015082984",
      "0.286177460"
    ],
    [
      "0.027703688",
      "-1.600223224"
    ],
    [
      "3.739089523",
      "0.287405640"
    ],
    [
      "-1.718455704",
      "-0.031960069"
    ],
    [
      "0.796752116",
      "-0.572076612"
    ],
    [
      "-0.250540481",
      "0.019812714"
    ],
    [
      "-0.061354009",
      "0.706285460"
    ],
    [
      "-0.785188092",
      "1.460086437"
    ],
    [
      "0.352748486",
      "0.221370859"
    ],
    [
      "0.008608669",
      "-0.401924129"
    ],
    [
      "-0.348067684",
      "-0.842024047"
    ],
    [
      "0.381066195",
      "-0.272054527"
    ],
    [
      "-4.512718708",
      "1.557597825"
    ],
    [
      "0.574744865",
      "0.639653100"
    ],
    [
      "0.088251472",
      "-0.046406931"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 29
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "1.324453654",
      "1.065194125"
    ],
    [
      "-0.388380666",
      "-0.339144470"
    ],
    [
      "0.568854073",
      "3.071313676"
    ],
    [
      "-0.660045084",
      "0.015657478"
    ],
    [
      "0.265652445",
      "1.295055054"
    ],
    [
      "0.744071553",
      "0.004223151"
    ],
    [
      "1.475060149",
      "-0.091378169"
    ],
    [
      "1.406953124",
      "-1.406550721"
    ],
    [
      "-1.359270075",
      "-1.456618723"
    ],
    [
      "0.237619733",
      "-0.809303217"
    ],
    [
      "-0.932392047",
      "0.530552450"
    ],
    [
      "-0.897995373",
      "-0.502134245"
    ],
    [
      "-0.396419628",
      "0.385011489"
    ],
    [
      "0.088178478",
      "-4.696402039"
    ],
    [
      "-0.015082984",
      "0.286177460"
    ],
    [
      "0.027703688",
      "-1.600223224"
    ],
    [
      "3.739089523",
      "0.287405640"
    ],
    [
      "-1.718455704",
      "-0.031960069"
    ],
    [
      "0.796752116",
      "-0.572076612"
    ],
    [
      "-0.250540481",
      "0.019812714"
    ],
    [
      "-0.061354009",
      "0.706285460"
    ],
    [
      "-0.785188092",
      "1.460086437"
    ],
    [
      "0.352748486",
      "0.221370859"
    ],
    [
      "0.008608669",
      "-0.401924129"
    ],
    [
      "-0.348067684",
      "-0.842024047"
    ],
    [
      "0.381066195",
      "-0.272054527"
    ],
    [
      "-4.512718708",
      "1.557597825"
    ],
    [
      "0.574744865",
      "0.639653100"
    ],
    [
      "0.088251472",
      "-0.046406931"
    ]
  ]
}

提交 points：恰好 n 个球极投影坐标对 [u, v]，每个分量写成 [-20, 20] 内最多九位小数的字符串。验证器将其精确映射到单位球面上。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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