P68 · 极值构型 · 经典问题 · 应用前沿 · 难

球面码：最大化最小角距 · n = 21

文献中也称spherical codeTammes problembest-packing points on a spheremaximin angular separation

在二维单位球面 S² 上选择 n 个点，使任意两点球心夹角的最小值最大。由于 arccos 单调递减，验证器等价地最小化任意两点内积的最大值。

子题S², n = 21

目标最小化最大内积

已知最好（未证明）0.699498431941467854Cohn 维护的 spherical-codes.org 三维球面码构型；公布的最大内积为 0.699498431067。本站用立体投影坐标重写同一组方向，九位网格证书的精确最大内积为 0.699498431941467854；最优性未知

严格定义

容器三维欧氏空间中的单位球面 S²
提交恰好 n 个 [-20,20]² 内的立体投影坐标 [u,v]
映射[u,v] 精确映射为 (2u,2v,1-u²-v²)/(1+u²+v²)
目标最大化最小角距；等价地最小化最大的两两内积。以有理数交叉相乘精确比较，分数为 ceil(max dot · 10¹⁸)

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已验证构造球面点的正投影视图

帮助理解

真实用途

天线波束、卫星姿态采样、球面数值积分和分子自组装都需要一组尽量彼此分离的方向。每增加一个点，原有对称结构往往整体重排。

为什么不是均匀经纬网

球面没有边界，却也不能被完全相同的小区域平铺；五边形、六边形缺陷和不同局部接触图互相竞争。所谓“平均分布”只是目标，具体怎样平均正是难题。

只留下开放区间

spherical-codes.org 将 n≤14 以及 n=24 标为已证明最优，本站不把它们作为竞技题；这里只开放表中尚未证明的 n=15…23 与 25…32，并逐行附上完整构型。

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当前第一名

0.699498431941467854

最大内积

已追平已知最好

答案来源Henry Cohn's spherical-code archive

解题方式公开参考构造

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

[u,v] 通过 (2u, 2v, 1-u²-v²)/(1+u²+v²) 表示球面上的点；这不是近似归一化，而是精确的有理参数化。

提交 points：恰好 n 个立体投影坐标 [u,v]，每项是 [-20,20] 内、最多九位小数的字符串。验证器将其精确映射到单位球面。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "-0.610126557",
      "-0.283589271"
    ],
    [
      "-0.455807291",
      "-0.941972469"
    ],
    [
      "-0.364936312",
      "0.875098357"
    ],
    [
      "-0.226562022",
      "0.003378159"
    ],
    [
      "0.352990333",
      "-0.369297114"
    ],
    [
      "-0.618642256",
      "0.281199844"
    ],
    [
      "1.295903616",
      "0.64747127"
    ],
    [
      "0.573791655",
      "0.281140202"
    ],
    [
      "-4.727253253",
      "0.237053709"
    ],
    [
      "1.650385358",
      "-1.286676044"
    ],
    [
      "-1.334768336",
      "0.753069074"
    ],
    [
      "0.175927114",
      "0.035944775"
    ],
    [
      "0.948783462",
      "-0.242177331"
    ],
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      "4.193585352",
      "2.290061358"
    ],
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      "-0.051436949",
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    ],
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      "2.162936955"
    ],
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      "0.378144443",
      "0.890555349"
    ],
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      "-0.119709539",
      "-0.428129737"
    ],
    [
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      "-0.575067434"
    ],
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      "-0.466335075",
      "-2.448974192"
    ],
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      "0.363507115",
      "-1.006830662"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 21
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "-0.610126557",
      "-0.283589271"
    ],
    [
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提交 points：恰好 n 个立体投影坐标 [u,v]，每项是 [-20,20] 内、最多九位小数的字符串。验证器将其精确映射到单位球面。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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