P68 · 极值构型 · 经典问题 · 应用前沿 · 难

球面码：最大化最小角距 · S², n = 26

文献中也称spherical codeTammes problembest-packing points on a spheremaximin angular separation

在二维单位球面 S² 上选择 n 个点，使任意两点间最小球心夹角最大。由于 arccos 单调递减，该目标等价于最小化任意两点内积的最大值。

子题S², n = 26

目标最小化最大内积

纪录对比

最大内积 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.7542781771205, 0.7542781771215]	见来源署名	spherical-codes.org ↗
本站纪录	0.754278177217346744	zzzcy	纪录详情 ↓

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严格定义

容器三维欧氏空间中的单位球面 S²
提交恰好 n 个 [-20,20]² 内的球极投影坐标 [u,v]
映射球极投影将 [u,v] 精确映射为以下单位球面点 $(u, v) \mapsto \frac{(2 u, 2 v, 1 - u^{2} - v^{2})}{1 + u^{2} + v^{2}}$
分数pᵢ 是映射后的单位向量，μ(P) 是全部点对中最大的内积；验证器通过有理数交叉相乘精确比较，并记录 ceil(μ·10¹⁸) $μ (P) = \max_{1 \leq i < j \leq n} p_{i} \cdot p_{j}$
最小角距由于 arccos 在 [-1, 1] 上严格递减，最大内积对应最小球心夹角 $θ (P) = \arccos (μ (P))$
目标最小化 μ(P)，等价于最大化最小角距 θ(P) $\min_{P} μ (P) \Leftrightarrow \max_{P} θ (P)$

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当前展示：本站纪录

已验证构造球面点的正投影视图

帮助理解

应用背景

天线波束赋形、卫星姿态采样、球面数值积分与分子自组装都需要一组彼此分离的球面方向。点数每增加 1，最优构型的对称群往往会发生突变。

球面拓扑缺陷

二维球面不能被全等的正六边形邻域无缺陷地铺满。Euler 示性数迫使接触图中出现五配位或更高阶的拓扑缺陷，不同对称性的局部接触图彼此竞争。

开放实例区间

spherical-codes.org 将 n ≤ 14 及 n = 24 列为已证明最优解。本题收录该表中尚未给出最优性证明的 n = 15–23 与 n = 25–32，并附有可验证的参考构型。

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构型与历史

纪录详情

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纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

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历史纪录（5 次易主）

zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
0.754278177253882479→0.754278177217346744
2026-10-06
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.75427817727138596→0.754278177253882479
2026-09-02
Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.754278177319895908→0.75427817727138596
2026-09-01
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.754278177406694413→0.754278177319895908
2026-09-01
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.754278177789361401→0.754278177406694413
2026-09-01

ANSWER FORMAT

答案怎么写

[u, v] 通过有理球极投影 (2u, 2v, 1 − u² − v²)/(1 + u² + v²) 精确映射为单位球面 S² 上的有理点。

提交 points：恰好 n 个球极投影坐标对 [u, v]，每个分量写成 [-20, 20] 内最多九位小数的字符串。验证器将其精确映射到单位球面上。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.146789874",
      "-0.612109970"
    ],
    [
      "0.146789874",
      "0.612109970"
    ],
    [
      "0.669585244",
      "-0.486597410"
    ],
    [
      "0.669585244",
      "0.486597410"
    ],
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      "-0.029547475",
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    ],
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      "0.335140709"
    ],
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      "-0.201111212",
      "-0.335140709"
    ],
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      "-0.371556442",
      "-0.809392441"
    ],
    [
      "-0.371556442",
      "0.809392441"
    ],
    [
      "0.235525869",
      "1.289025417"
    ],
    [
      "0.235525869",
      "-1.289025417"
    ],
    [
      "1.373822917",
      "-1.067947710"
    ],
    [
      "1.373822917",
      "1.067947710"
    ],
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    ],
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      "-0.196285596"
    ],
    [
      "0.161206621",
      "-3.259966247"
    ],
    [
      "0.161206621",
      "3.259966247"
    ],
    [
      "-0.802481308",
      "0.357086165"
    ],
    [
      "-0.802481308",
      "-0.357086165"
    ],
    [
      "-5.010028265",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "-1.612413432",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "-1.195200484",
      "-1.271238353"
    ],
    [
      "-1.195200484",
      "1.271238353"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 26
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.146789874",
      "-0.612109970"
    ],
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      "0.669585244",
      "-0.486597410"
    ],
    [
      "0.669585244",
      "0.486597410"
    ],
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    ],
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      "1.176242962",
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    ],
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      "-0.201111212",
      "0.335140709"
    ],
    [
      "-0.201111212",
      "-0.335140709"
    ],
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      "-0.371556442",
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      "0.809392441"
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      "0.235525869",
      "1.289025417"
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      "0.235525869",
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      "1.373822917",
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      "0.196285596"
    ],
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      "0.285403747",
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    [
      "0.161206621",
      "-3.259966247"
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    [
      "0.161206621",
      "3.259966247"
    ],
    [
      "-0.802481308",
      "0.357086165"
    ],
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      "-0.802481308",
      "-0.357086165"
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      "-5.010028265",
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    [
      "-1.612413432",
      "0.000000000"
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    [
      "-1.195200484",
      "-1.271238353"
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    [
      "-1.195200484",
      "1.271238353"
    ]
  ]
}

提交 points：恰好 n 个球极投影坐标对 [u, v]，每个分量写成 [-20, 20] 内最多九位小数的字符串。验证器将其精确映射到单位球面上。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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