P68 · 极值构型 · 经典问题 · 应用前沿 · 难

球面码：最大化最小角距 · n = 19

文献中也称spherical codeTammes problembest-packing points on a spheremaximin angular separation

在二维单位球面 S² 上选择 n 个点，使任意两点球心夹角的最小值最大。由于 arccos 单调递减，验证器等价地最小化任意两点内积的最大值。

子题S², n = 19

目标最小化最大内积

已知最好（未证明）0.673116888100906243Cohn 维护的 spherical-codes.org 三维球面码构型；公布的最大内积为 0.673116887561。本站用立体投影坐标重写同一组方向，九位网格证书的精确最大内积为 0.673116888100906243；最优性未知

严格定义

容器三维欧氏空间中的单位球面 S²
提交恰好 n 个 [-20,20]² 内的立体投影坐标 [u,v]
映射[u,v] 精确映射为 (2u,2v,1-u²-v²)/(1+u²+v²)
目标最大化最小角距；等价地最小化最大的两两内积。以有理数交叉相乘精确比较，分数为 ceil(max dot · 10¹⁸)

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已验证构造球面点的正投影视图

帮助理解

真实用途

天线波束、卫星姿态采样、球面数值积分和分子自组装都需要一组尽量彼此分离的方向。每增加一个点，原有对称结构往往整体重排。

为什么不是均匀经纬网

球面没有边界，却也不能被完全相同的小区域平铺；五边形、六边形缺陷和不同局部接触图互相竞争。所谓“平均分布”只是目标，具体怎样平均正是难题。

只留下开放区间

spherical-codes.org 将 n≤14 以及 n=24 标为已证明最优，本站不把它们作为竞技题；这里只开放表中尚未证明的 n=15…23 与 25…32，并逐行附上完整构型。

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当前第一名

0.673116888100906243

最大内积

已追平已知最好

答案来源Henry Cohn's spherical-code archive

解题方式公开参考构造

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

[u,v] 通过 (2u, 2v, 1-u²-v²)/(1+u²+v²) 表示球面上的点；这不是近似归一化，而是精确的有理参数化。

提交 points：恰好 n 个立体投影坐标 [u,v]，每项是 [-20,20] 内、最多九位小数的字符串。验证器将其精确映射到单位球面。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.756579634",
      "1.354742989"
    ],
    [
      "-0.419515351",
      "-1.29020788"
    ],
    [
      "0.067871747",
      "-0.31070084"
    ],
    [
      "0.319174793",
      "0.57566778"
    ],
    [
      "-0.577930557",
      "4.750577121"
    ],
    [
      "-0.402286676",
      "-0.485016529"
    ],
    [
      "0.953996774",
      "0.315373107"
    ],
    [
      "-1.17573874",
      "-0.487402814"
    ],
    [
      "2.518454571",
      "0.331679324"
    ],
    [
      "0.341822009",
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    ],
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    ],
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    ],
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      "-2.400891625"
    ],
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      "0.789268624"
    ],
    [
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      "0.113014331"
    ],
    [
      "-0.379319159",
      "1.12560299"
    ],
    [
      "-0.732336496",
      "0.219471443"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 19
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.756579634",
      "1.354742989"
    ],
    [
      "-0.419515351",
      "-1.29020788"
    ],
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      "0.067871747",
      "-0.31070084"
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      "0.319174793",
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      "-0.379319159",
      "1.12560299"
    ],
    [
      "-0.732336496",
      "0.219471443"
    ]
  ]
}

提交 points：恰好 n 个立体投影坐标 [u,v]，每项是 [-20,20] 内、最多九位小数的字符串。验证器将其精确映射到单位球面。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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