P15 · 装箱与覆盖 · 已解决 · 经典问题

单位正方形内的散点分离

1y0

在单位正方形内放置 n 个点，使任意两点之间的最小欧氏距离尽可能大。

严格定义

容器单位正方形 [0, 1] × [0, 1]，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)
提交恰好 n 个点 points，两两互不重合
约束每个点均位于单位正方形内部或边界上
分数δ(P) 为所有点对中的最小欧氏距离（验证器在内部通过精确比较距离平方 δ(P)² 来判定高低） $δ (P) = \min_{1 \leq i < j \leq n} ‖ p_{i} - p_{j} ‖$
目标最大化最小两两距离 δ(P)

帮助理解

与正方形等圆装箱的对偶关系

在单位正方形内放置最小两两距离为 d 的 n 个点，等价于在边长为 1 + d 的正方形内放置 n 个半径为 d/2 的互不重叠等圆（缩放到单位正方形后，圆半径为 r = d / (2 + 2d)）。在最优构型中，距离恰好为 d 的点对与落在正方形四边上的点共同锁定接触结构。

已知证明与开放前沿

通过与正方形内等圆装箱（csq）的精确换算关系，csq 文献表中的证明与构造可直接对应至本题。本站已通过初等分划论证给出 n = 2, 4, 5, 9 的证明（见各子题说明），其余规模对照 csq 文献前沿。

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逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

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当前纪录1.03527618已证明最优 √6 − √2

当前纪录0.54810912已证明最优 √13/6

当前纪录0.486793262已证明最优 4 − 2√3

当前纪录0.516623654已证明最优 (√6 − √2)/2

当前纪录0.5

当前纪录0.360987525已证明最优 0.421279543

当前纪录0.25已证明最优 0.39820731

当前纪录0.25已证明最优 0.388730126

这道题已冻结

与 P01（正方形内装等圆）在数学上完全等价，换算关系为 d = 2r/(1 − 2r)（Specht 的公开表也将这两个量并列在同一张表中）。题库仅保留圆装箱版本（P01）。

自 2026-08-28 起不再收录新纪录。已有纪录仍保留在历史记录和持有者主页中，页面链接长期有效；由于纪录不再更替，自 2026-10-04 起不再计入贡献值。

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

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引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

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BibTeX（点击复制）

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冻结，但贡献值……NUE_13#310 条回复31 天前