这道题已冻结

与 P01（正方形内装等圆）在数学上完全等价，换算关系为 d = 2r/(1 − 2r)（Specht 的公开表也将这两个量并列在同一张表中）。题库仅保留圆装箱版本（P01）。

自 2026-08-28 起不再收录新纪录。已有纪录仍保留在历史记录和持有者主页中，页面链接长期有效；由于纪录不再更替，自 2026-10-04 起不再计入贡献值。

P15 · 装箱与覆盖 · 经典问题

单位正方形内的散点分离 · n = 9

在单位正方形内放置 n 个点，使任意两点之间的最小欧氏距离尽可能大。

子题n = 9

目标最大化最小两点距离

纪录对比

最小两点距离 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
已证明最优	0.5	见来源署名	证明 / 来源 3 × 3 方阵，间距 1/2
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

已完成已有达到理论上限的公开解答，该子题已无竞争空间

严格定义

容器单位正方形 [0, 1] × [0, 1]，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)
提交恰好 n 个点 points，两两互不重合
约束每个点均位于单位正方形内部或边界上
分数δ(P) 为所有点对中的最小欧氏距离（验证器在内部通过精确比较距离平方 δ(P)² 来判定高低） $δ (P) = \min_{1 \leq i < j \leq n} ‖ p_{i} - p_{j} ‖$
目标最大化最小两两距离 δ(P)

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当前展示：起步布局

1y0

123456789

0x1

已验证构造最近的一对点

帮助理解

与正方形等圆装箱的对偶关系

在单位正方形内放置最小两两距离为 d 的 n 个点，等价于在边长为 1 + d 的正方形内放置 n 个半径为 d/2 的互不重叠等圆（缩放到单位正方形后，圆半径为 r = d / (2 + 2d)）。在最优构型中，距离恰好为 d 的点对与落在正方形四边上的点共同锁定接触结构。

已知证明与开放前沿

通过与正方形内等圆装箱（csq）的精确换算关系，csq 文献表中的证明与构造可直接对应至本题。本站已通过初等分划论证给出 n = 2, 4, 5, 9 的证明（见各子题说明），其余规模对照 csq 文献前沿。

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构型与历史

起步布局

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最优值已获严格证明，无法继续提升提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)。坐标和长度用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交点集坐标 points，每个坐标均以十进制字符串表示（如 "0.5"）。

起步布局答案

{
  "points": [
    [
      "0",
      "0"
    ],
    [
      "0.5",
      "0"
    ],
    [
      "1",
      "0"
    ],
    [
      "0",
      "0.5"
    ],
    [
      "0.5",
      "0.5"
    ],
    [
      "1",
      "0.5"
    ],
    [
      "0",
      "1"
    ],
    [
      "0.5",
      "1"
    ],
    [
      "1",
      "1"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 9
}

起步布局答案

{
  "points": [
    [
      "0",
      "0"
    ],
    [
      "0.5",
      "0"
    ],
    [
      "1",
      "0"
    ],
    [
      "0",
      "0.5"
    ],
    [
      "0.5",
      "0.5"
    ],
    [
      "1",
      "0.5"
    ],
    [
      "0",
      "1"
    ],
    [
      "0.5",
      "1"
    ],
    [
      "1",
      "1"
    ]
  ]
}

提交点集坐标 points，每个坐标均以十进制字符串表示（如 "0.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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冻结，但贡献值……NUE_13#310 条回复31 天前