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P01 · 装箱与覆盖 · 经典问题

单位正方形内的等圆装箱

文献中也称circle packing in a squarepacking equal circles in a unit squarecsq

1y0
0x1
已验证构造r = 0.207106781
n = 5当前纪录 · 打开子题

在边长 1 的正方形内放置 n 个半径相同、互不重叠的圆，使共同半径尽可能大。

严格定义

  • 容器单位正方形：左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)
  • 提交恰好 n 个圆：一个共同半径 radius 与 n 个圆心 centers
  • 约束每个圆完整落在容器内；两两内部不重叠，相切允许
  • 目标让共同半径尽可能大

帮助理解

哪里有优化空间

最优构形是「卡死」的接触结构：圆彼此顶住、顶住边界，常出现斜排、错位、以及不碰任何邻居的游离圆。规整的网格摆法几乎从不最优。

前沿在哪里

n = 1–30 已证明最优，适合观察经典接触结构；n = 31–300 接入 Packomania 的公开前沿，除 n = 36 外最优性仍未知。大规模部分集中成一张表，供算法批量挑战。

查看来源
逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

小规模实例保留独立页面，便于观察和手工调整；更大的 n 集中在下方同一张表中，直接比较与提交。

讨论区（2）↓
n1
当前纪录0.500000000
已达最优
答案来源参考答案
解题方式公开参考构造
n2
当前纪录(2 − √2)/2
已达最优
答案来源参考答案
解题方式—
n3
当前纪录0.254333094
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n4
当前纪录0.250000000
已达最优
答案来源参考答案
解题方式公开参考构造
n5
当前纪录(√2 − 1)/2
已达最优
答案来源参考答案
解题方式公开参考构造
n6
当前纪录0.187680601
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n7
当前纪录0.174457630
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n8
当前纪录0.170540688
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n9
当前纪录1/6
已达最优
答案来源参考答案
解题方式公开参考构造
n10
当前纪录0.148204322
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n11
当前纪录0.142399237
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n12
当前纪录0.139958843
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n13
当前纪录0.133993513
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n14
当前纪录0.129331793
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n15
当前纪录0.127166547
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n16
当前纪录0.125000000
已达最优
答案来源参考答案
解题方式公开参考构造
n17
当前纪录0.117196742
已达最优
答案来源参考答案
解题方式—
n18
当前纪录0.115521432
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n19
当前纪录0.112265437
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n20
当前纪录0.111382347
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n21
当前纪录0.106860212
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n22
当前纪录0.105665296
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n23
当前纪录0.102802323
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n24
当前纪录0.101381800
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n25
当前纪录1/10
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n26
当前纪录0.096362338
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n27
当前纪录0.095420001
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n28
当前纪录0.093672833
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n29
当前纪录0.092463143
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n30
当前纪录0.091671057
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
计算前沿

N = 31–300 总表

每一行仍有独立纪录，但不再生成一张重复的题目页面。外部值按其来源的原始精度保留；本站构型经过九位网格验证。

N当前纪录外部纪录纪录来源状态
360.0833333331/12 ↗Packomania · Eckard Specht已达最优已封盘

引用与数据

这一题族的全部子题、权威分数、证明状态、坐标与来源，都在下面这个稳定地址里，以 CC BY 4.0 发布。分数会随纪录变化，引用时请一并记录文件里的 generatedAt。

GET https://minmaxarena.com/data/square-circle-packing.json

引用请指向 2026-09 冻结版：纪录会变，冻结版永远不变，所以引文十年后仍可核对。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-09/square-circle-packing.json
BibTeX（点开复制）
@misc{minmaxarena-square-circle-packing-2026-09,
  title  = {{Equal-circle packing in a unit square} (P01)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-09 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-09/square-circle-packing.json},
  license = {CC BY 4.0}
}
DISCUSSION

讨论区

聊思路、贴方法、问为什么卡住。所有登录用户都可以发帖；发言公开署名，与纪录使用同一个名字，署名后的 #编号是账号注册序号，冒不了名。新发言经自动审核后公开。

啊？？！NUE_13#310 条回复空悲切/.lird#282 条回复