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P01 · 装箱与覆盖 · 经典问题

单位正方形内的等圆装箱 · n = 18

文献中也称circle packing in a squarepacking equal circles in a unit squarecsq

在边长为 1 的正方形内放置 n 个半径相同、互不重叠的圆，使它们的共同半径尽可能大。

子题n = 18
目标最大化 共同半径

纪录对比

共同半径 · 越大越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
已证明最优0.115521432见来源署名web.archive.org ↗
本站纪录暂无选手纪录——

已完成已有达到理论上限的公开解答，该子题已无竞争空间

严格定义

  • 容器单位正方形 [0, 1] × [0, 1]，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)
  • 提交恰好 n 个圆：一个共同半径 radius 与 n 个圆心坐标 centers
  • 约束每个圆完全位于正方形内；任意两圆内部不重叠，允许相切
  • 目标最大化共同半径 radius
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当前展示：起步布局

1y0
0x1
已验证构造r = 0.115521432

帮助理解

接触图与非规则排布

当圆的半径达到最大时，大部分圆会与相邻的圆或正方形边界相切，形成刚性的接触网络。除少数平方数规模外，整齐的网格排列通常会浪费边缘空间；更优的构型往往采用斜排与错位层，有时还会留下一两个可在局部空隙内微移的游离圆（rattler）。

已知证明与开放前沿

n = 1–30 的最优解均已给出数学证明；n = 31–300 导入了 Packomania 整理的公开已知最优构型，其中除 n = 36 外尚未证明最优性。较大规模的子题合并为同一张数据表，便于使用算法批量求解与比对。

查看来源
单位正方形内的等圆装箱 n = 18 的当前构型
构型与历史

起步布局

查看构型、求解笔记与纪录历史。

最优值已获严格证明，无法继续提升提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。
历史纪录（4 次易主）
  1. Packomania · Eckard Specht人工
    0.110234019→0.115521432
  2. NUE_13人工
    0.107000000→0.110234019
  3. NUE_13人工
    0.105394446→0.107000000
  4. NUE_13人工
    0.100000000→0.105394446
ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 1 的正方形，左下角为 (0, 0)，右上角为 (1, 1)。普通小数格式最多九位小数；n ≤ 35 的代数格式可使用分数和单一根式域，表达式的限制见下方代数构型说明。

提交共同半径 radius 与圆心坐标 centers，数值写成十进制字符串。n ≤ 35 也支持代数证书：增加 field: 2 或 3，数值可写分数和该域的 sqrt(2) 或 sqrt(3)。已封盘子题不重新开放。

起步布局答案

{
  "centers": [
    [
      "0.115521432",
      "0.115521432"
    ],
    [
      "0.5",
      "0.115521432"
    ],
    [
      "0.884478568",
      "0.115521432"
    ],
    [
      "0.307760716",
      "0.243680955"
    ],
    [
      "0.692239284",
      "0.243680955"
    ],
    [
      "0.115521432",
      "0.371840477"
    ],
    [
      "0.5",
      "0.371840477"
    ],
    [
      "0.884478568",
      "0.371840477"
    ],
    [
      "0.307760716",
      "0.5"
    ],
    [
      "0.692239284",
      "0.5"
    ],
    [
      "0.115521432",
      "0.628159523"
    ],
    [
      "0.5",
      "0.628159523"
    ],
    [
      "0.884478568",
      "0.628159523"
    ],
    [
      "0.307760716",
      "0.756319045"
    ],
    [
      "0.692239284",
      "0.756319045"
    ],
    [
      "0.115521432",
      "0.884478568"
    ],
    [
      "0.5",
      "0.884478568"
    ],
    [
      "0.884478568",
      "0.884478568"
    ]
  ],
  "radius": "0.115521432"
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 18
}

起步布局答案

{
  "centers": [
    [
      "0.115521432",
      "0.115521432"
    ],
    [
      "0.5",
      "0.115521432"
    ],
    [
      "0.884478568",
      "0.115521432"
    ],
    [
      "0.307760716",
      "0.243680955"
    ],
    [
      "0.692239284",
      "0.243680955"
    ],
    [
      "0.115521432",
      "0.371840477"
    ],
    [
      "0.5",
      "0.371840477"
    ],
    [
      "0.884478568",
      "0.371840477"
    ],
    [
      "0.307760716",
      "0.5"
    ],
    [
      "0.692239284",
      "0.5"
    ],
    [
      "0.115521432",
      "0.628159523"
    ],
    [
      "0.5",
      "0.628159523"
    ],
    [
      "0.884478568",
      "0.628159523"
    ],
    [
      "0.307760716",
      "0.756319045"
    ],
    [
      "0.692239284",
      "0.756319045"
    ],
    [
      "0.115521432",
      "0.884478568"
    ],
    [
      "0.5",
      "0.884478568"
    ],
    [
      "0.884478568",
      "0.884478568"
    ]
  ],
  "radius": "0.115521432"
}

提交共同半径 radius 与圆心坐标 centers，数值写成十进制字符串。n ≤ 35 也支持代数证书：增加 field: 2 或 3，数值可写分数和该域的 sqrt(2) 或 sqrt(3)。已封盘子题不重新开放。 · 验证器 v1.0.0

代数构型

先精确验证，再前往正式提交页选择署名和解题方式。只有正式提交会保存答案并参与现有计分；构型合法不等于全局最优。

支持分数、括号、四则运算，以及 sqrt(2) 或 sqrt(3)。field 选择整份构型使用的根式；普通小数仍可使用。

每个表达式最多 256 字符、64 个词元、16 层嵌套；字面小数最多 18 位，中间有理系数最多 256 位二进制。
DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

啊？？！NUE_13#312 条回复空悲切/.lird#282 条回复