P01 · 装箱与覆盖 · 经典问题

单位正方形内的等圆装箱 · n = 1

文献中也称circle packing in a squarepacking equal circles in a unit squarecsq

在边长为 1 的正方形内放置 n 个半径相同、互不重叠的圆，使它们的共同半径尽可能大。

子题n = 1

目标最大化共同半径

纪录对比

共同半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
已证明最优	0.5	见来源署名	证明 / 来源内切圆
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

已完成已有达到理论上限的公开解答，该子题已无竞争空间

当前展示：起步布局

1y0

0x1

已验证构造r = 0.500000000

当圆的半径达到最大时，大部分圆会与相邻的圆或正方形边界相切，形成刚性的接触网络。除少数平方数规模外，整齐的网格排列通常会浪费边缘空间；更优的构型往往采用斜排与错位层，有时还会留下一两个可在局部空隙内微移的游离圆（rattler）。

n = 1–30 的最优解均已给出数学证明；n = 31–300 导入了 Packomania 整理的公开已知最优构型，其中除 n = 36 外尚未证明最优性。较大规模的子题合并为同一张数据表，便于使用算法批量求解与比对。

构型与历史

查看构型、求解笔记与纪录历史。

最优值已获严格证明，无法继续提升提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

ANSWER FORMAT

容器是边长 1 的正方形，左下角为 (0, 0)，右上角为 (1, 1)。普通小数格式最多九位小数；n ≤ 35 的代数格式可使用分数和单一根式域，表达式的限制见下方代数构型说明。

提交共同半径 radius 与圆心坐标 centers，数值写成十进制字符串。n ≤ 35 也支持代数证书：增加 field: 2 或 3，数值可写分数和该域的 sqrt(2) 或 sqrt(3)。已封盘子题不重新开放。

{
  "centers": [
    [
      "0.5",
      "0.5"
    ]
  ],
  "radius": "0.5"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

{
  "n": 1
}

{
  "centers": [
    [
      "0.5",
      "0.5"
    ]
  ],
  "radius": "0.5"
}

提交共同半径 radius 与圆心坐标 centers，数值写成十进制字符串。n ≤ 35 也支持代数证书：增加 field: 2 或 3，数值可写分数和该域的 sqrt(2) 或 sqrt(3)。已封盘子题不重新开放。 · 验证器 v1.0.0

代数构型

先精确验证，再前往正式提交页选择署名和解题方式。只有正式提交会保存答案并参与现有计分；构型合法不等于全局最优。

支持分数、括号、四则运算，以及 sqrt(2) 或 sqrt(3)。field 选择整份构型使用的根式；普通小数仍可使用。

完整构型（JSON）

每个表达式最多 256 字符、64 个词元、16 层嵌套；字面小数最多 18 位，中间有理系数最多 256 位二进制。

DISCUSSION

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。