极值竞技场
中/EN
P67 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 应用前沿 · 难

周长固定矩形内的可变半径圆 · n = 13

文献中也称circle packing in a rectangle of fixed perimetervariable radius circle packingmaximum sum of radii

在一个周长为 4、长宽均可改变的矩形内放入 n 个内部互不重叠的圆。每个圆的半径也可独立改变，使半径之和最大。

子题n = 13
目标最大化 半径之和
已知最好（未证明）1.835020065Berthold、Kamp、Mexi、Pokutta 与 Polik 公开仓库中的周长 4 矩形构型；连续构型的半径和为 1.835020085670111。本站将同一构型保守量化到九位网格，可验证半径和为 1.835020065；最优性未知

严格定义

  • 容器width>0、height>0，且 width+height=2；左下角固定为 (0,0)
  • 提交恰好 n 个圆，每个写成 [x,y,r]，半径严格为正
  • 约束每个圆完整位于矩形内；圆的内部两两不相交，相切允许
  • 目标最大化所有半径的精确整数和
挑战这个纪录 ↗
1.025273592y0
0x0.974726408
已验证构造计分是全部半径之和

帮助理解

容器和货物一起优化

固定正方形时只能调整圆；这里把一点周长从高度移给宽度，会改变所有贴边圆和空隙。它是容器选型与装箱设计耦合的最小模型。

为什么不平均

相同半径通常浪费曲边之间的空隙。大圆决定矩形比例，小圆填补接触图中的孔洞；增加一个圆甚至可能令整个长宽比跳到另一种结构。

公开前沿

2026 年的公开计算项目给出了 n≤60 的完整坐标。本站从第一个非平凡实例 n=3 开始展示其可验证九位网格版本；这些是最好已知构型，不是最优性证明。

查看来源
周长固定矩形内的可变半径圆 n = 13 的当前纪录构型，1.835020065
当前第一名

1.835020065

半径之和

已追平已知最好
答案来源Timo Berthold, Dominik Kamp, Gonzalo Mexi, Sebastian Pokutta and Ilja Polik
解题方式公开参考构造
挑战这个纪录 ↗
ANSWER FORMAT

答案怎么写

矩形左下角为 (0,0)，宽为 width、高为 height；周长 2(width+height)=4。

提交 width、height，以及恰好 n 个 [x, y, r]。width + height 必须精确等于 2；所有数是最多九位小数的字符串。

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.189900105",
      "0.835373484",
      "0.189900102"
    ],
    [
      "0.529151395",
      "0.873757823",
      "0.151515763"
    ],
    [
      "0.827680056",
      "0.878227235",
      "0.147046351"
    ],
    [
      "0.15170996",
      "0.495904846",
      "0.151709959"
    ],
    [
      "0.804207717",
      "0.170518694",
      "0.17051869"
    ],
    [
      "0.423211747",
      "0.602290246",
      "0.139890916"
    ],
    [
      "0.489198033",
      "0.1454842",
      "0.145484197"
    ],
    [
      "0.893238447",
      "0.659297954",
      "0.081487961"
    ],
    [
      "0.852276909",
      "0.45951647",
      "0.122449499"
    ],
    [
      "0.604472068",
      "0.398676739",
      "0.132714586"
    ],
    [
      "0.686007033",
      "0.644493519",
      "0.126271585"
    ],
    [
      "0.172428869",
      "0.172428869",
      "0.172428867"
    ],
    [
      "0.370634177",
      "0.364542053",
      "0.103601589"
    ]
  ],
  "height": "1.025273592",
  "width": "0.974726408"
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 13
}

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.189900105",
      "0.835373484",
      "0.189900102"
    ],
    [
      "0.529151395",
      "0.873757823",
      "0.151515763"
    ],
    [
      "0.827680056",
      "0.878227235",
      "0.147046351"
    ],
    [
      "0.15170996",
      "0.495904846",
      "0.151709959"
    ],
    [
      "0.804207717",
      "0.170518694",
      "0.17051869"
    ],
    [
      "0.423211747",
      "0.602290246",
      "0.139890916"
    ],
    [
      "0.489198033",
      "0.1454842",
      "0.145484197"
    ],
    [
      "0.893238447",
      "0.659297954",
      "0.081487961"
    ],
    [
      "0.852276909",
      "0.45951647",
      "0.122449499"
    ],
    [
      "0.604472068",
      "0.398676739",
      "0.132714586"
    ],
    [
      "0.686007033",
      "0.644493519",
      "0.126271585"
    ],
    [
      "0.172428869",
      "0.172428869",
      "0.172428867"
    ],
    [
      "0.370634177",
      "0.364542053",
      "0.103601589"
    ]
  ],
  "height": "1.025273592",
  "width": "0.974726408"
}

提交 width、height，以及恰好 n 个 [x, y, r]。width + height 必须精确等于 2；所有数是最多九位小数的字符串。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

聊思路、贴方法、问为什么卡住。发帖即公开署名，与纪录同一个名字；署名后的 #编号是账号的注册序号，冒不了名。发言资格与实绩绑定：破过一次纪录，就永久拥有发言权。新发言经自动审核后公开。

还没有帖子。第一个聊聊这道题的思路？