极值竞技场
中/EN
P67 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 应用前沿 · 难

周长固定矩形内的可变半径圆 · n = 16

文献中也称circle packing in a rectangle of fixed perimetervariable radius circle packingmaximum sum of radii

在一个周长为 4、长宽均可改变的矩形内放入 n 个内部互不重叠的圆。每个圆的半径也可独立改变，使半径之和最大。

子题n = 16
目标最大化 半径之和
已知最好（未证明）2.059275718Berthold、Kamp、Mexi、Pokutta 与 Polik 公开仓库中的周长 4 矩形构型；连续构型的半径和为 2.059275739882224。本站将同一构型保守量化到九位网格，可验证半径和为 2.059275718；最优性未知

严格定义

  • 容器width>0、height>0，且 width+height=2；左下角固定为 (0,0)
  • 提交恰好 n 个圆，每个写成 [x,y,r]，半径严格为正
  • 约束每个圆完整位于矩形内；圆的内部两两不相交，相切允许
  • 目标最大化所有半径的精确整数和
挑战这个纪录 ↗
1.028446781y0
0x0.971553219
已验证构造计分是全部半径之和

帮助理解

容器和货物一起优化

固定正方形时只能调整圆；这里把一点周长从高度移给宽度，会改变所有贴边圆和空隙。它是容器选型与装箱设计耦合的最小模型。

为什么不平均

相同半径通常浪费曲边之间的空隙。大圆决定矩形比例，小圆填补接触图中的孔洞；增加一个圆甚至可能令整个长宽比跳到另一种结构。

公开前沿

2026 年的公开计算项目给出了 n≤60 的完整坐标。本站从第一个非平凡实例 n=3 开始展示其可验证九位网格版本；这些是最好已知构型，不是最优性证明。

查看来源
周长固定矩形内的可变半径圆 n = 16 的当前纪录构型，2.059275718
当前第一名

2.059275718

半径之和

已追平已知最好
答案来源Timo Berthold, Dominik Kamp, Gonzalo Mexi, Sebastian Pokutta and Ilja Polik
解题方式公开参考构造
挑战这个纪录 ↗
ANSWER FORMAT

答案怎么写

矩形左下角为 (0,0)，宽为 width、高为 height；周长 2(width+height)=4。

提交 width、height，以及恰好 n 个 [x, y, r]。width + height 必须精确等于 2；所有数是最多九位小数的字符串。

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.379769722",
      "0.938172139",
      "0.090274637"
    ],
    [
      "0.617377375",
      "0.872097781",
      "0.156348996"
    ],
    [
      "0.869728218",
      "0.926621776",
      "0.101825"
    ],
    [
      "0.842836436",
      "0.697653774",
      "0.12871678"
    ],
    [
      "0.605468026",
      "0.579605963",
      "0.136385173"
    ],
    [
      "0.591783499",
      "0.09027464",
      "0.090274637"
    ],
    [
      "0.101825003",
      "0.101825003",
      "0.101825"
    ],
    [
      "0.128716784",
      "0.330793005",
      "0.12871678"
    ],
    [
      "0.354175846",
      "0.156348998",
      "0.156348996"
    ],
    [
      "0.823220069",
      "0.148333151",
      "0.148333149"
    ],
    [
      "0.375278035",
      "0.716505591",
      "0.131437412"
    ],
    [
      "0.136316713",
      "0.595717513",
      "0.136316712"
    ],
    [
      "0.835236507",
      "0.432729266",
      "0.136316712"
    ],
    [
      "0.596275186",
      "0.311941189",
      "0.131437412"
    ],
    [
      "0.148333151",
      "0.880113628",
      "0.148333149"
    ],
    [
      "0.366085195",
      "0.448840816",
      "0.136385173"
    ]
  ],
  "height": "1.028446781",
  "width": "0.971553219"
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 16
}

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.379769722",
      "0.938172139",
      "0.090274637"
    ],
    [
      "0.617377375",
      "0.872097781",
      "0.156348996"
    ],
    [
      "0.869728218",
      "0.926621776",
      "0.101825"
    ],
    [
      "0.842836436",
      "0.697653774",
      "0.12871678"
    ],
    [
      "0.605468026",
      "0.579605963",
      "0.136385173"
    ],
    [
      "0.591783499",
      "0.09027464",
      "0.090274637"
    ],
    [
      "0.101825003",
      "0.101825003",
      "0.101825"
    ],
    [
      "0.128716784",
      "0.330793005",
      "0.12871678"
    ],
    [
      "0.354175846",
      "0.156348998",
      "0.156348996"
    ],
    [
      "0.823220069",
      "0.148333151",
      "0.148333149"
    ],
    [
      "0.375278035",
      "0.716505591",
      "0.131437412"
    ],
    [
      "0.136316713",
      "0.595717513",
      "0.136316712"
    ],
    [
      "0.835236507",
      "0.432729266",
      "0.136316712"
    ],
    [
      "0.596275186",
      "0.311941189",
      "0.131437412"
    ],
    [
      "0.148333151",
      "0.880113628",
      "0.148333149"
    ],
    [
      "0.366085195",
      "0.448840816",
      "0.136385173"
    ]
  ],
  "height": "1.028446781",
  "width": "0.971553219"
}

提交 width、height，以及恰好 n 个 [x, y, r]。width + height 必须精确等于 2；所有数是最多九位小数的字符串。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

聊思路、贴方法、问为什么卡住。发帖即公开署名，与纪录同一个名字；署名后的 #编号是账号的注册序号，冒不了名。发言资格与实绩绑定：破过一次纪录，就永久拥有发言权。新发言经自动审核后公开。

还没有帖子。第一个聊聊这道题的思路？