P67 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 应用前沿 · 难

周长固定矩形内的可变半径圆 · n = 14

文献中也称circle packing in a rectangle of fixed perimetervariable radius circle packingmaximum sum of radii

在一个周长为 4、长宽均可改变的矩形内放入 n 个内部互不重叠的圆。每个圆的半径也可独立改变，使半径之和最大。

子题n = 14

目标最大化半径之和

已知最好（未证明）1.916657209Berthold、Kamp、Mexi、Pokutta 与 Polik 公开仓库中的周长 4 矩形构型；连续构型的半径和为 1.916657216933570。本站将同一构型保守量化到九位网格，可验证半径和为 1.916657209；最优性未知

严格定义

容器width>0、height>0，且 width+height=2；左下角固定为 (0,0)
提交恰好 n 个圆，每个写成 [x,y,r]，半径严格为正
约束每个圆完整位于矩形内；圆的内部两两不相交，相切允许
目标最大化所有半径的精确整数和

挑战这个纪录 ↗

1.042501522y0

1234567891011121314

0x0.957498478

已验证构造计分是全部半径之和

帮助理解

容器和货物一起优化

固定正方形时只能调整圆；这里把一点周长从高度移给宽度，会改变所有贴边圆和空隙。它是容器选型与装箱设计耦合的最小模型。

为什么不平均

相同半径通常浪费曲边之间的空隙。大圆决定矩形比例，小圆填补接触图中的孔洞；增加一个圆甚至可能令整个长宽比跳到另一种结构。

公开前沿

2026 年的公开计算项目给出了 n≤60 的完整坐标。本站从第一个非平凡实例 n=3 开始展示其可验证九位网格版本；这些是最好已知构型，不是最优性证明。

查看来源

当前第一名

1.916657209

半径之和

已追平已知最好

答案来源Timo Berthold, Dominik Kamp, Gonzalo Mexi, Sebastian Pokutta and Ilja Polik

解题方式公开参考构造

挑战这个纪录 ↗

ANSWER FORMAT

答案怎么写

矩形左下角为 (0,0)，宽为 width、高为 height；周长 2(width+height)=4。

提交 width、height，以及恰好 n 个 [x, y, r]。width + height 必须精确等于 2；所有数是最多九位小数的字符串。

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.097484806",
      "0.414567138",
      "0.097484804"
    ],
    [
      "0.791249827",
      "0.669178351",
      "0.166248651"
    ],
    [
      "0.162693224",
      "0.162693224",
      "0.162693223"
    ],
    [
      "0.47874924",
      "0.153496565",
      "0.153496565"
    ],
    [
      "0.794805255",
      "0.162693224",
      "0.162693223"
    ],
    [
      "0.106810998",
      "0.935690522",
      "0.106810996"
    ],
    [
      "0.47874924",
      "0.663423028",
      "0.146304928"
    ],
    [
      "0.860013674",
      "0.414567138",
      "0.097484804"
    ],
    [
      "0.345453013",
      "0.909205292",
      "0.133296226"
    ],
    [
      "0.612045467",
      "0.909205292",
      "0.133296226"
    ],
    [
      "0.166248653",
      "0.669178351",
      "0.166248651"
    ],
    [
      "0.6206432",
      "0.41257506",
      "0.141893958"
    ],
    [
      "0.850687482",
      "0.935690522",
      "0.106810996"
    ],
    [
      "0.33685528",
      "0.41257506",
      "0.141893958"
    ]
  ],
  "height": "1.042501522",
  "width": "0.957498478"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 14
}

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.097484806",
      "0.414567138",
      "0.097484804"
    ],
    [
      "0.791249827",
      "0.669178351",
      "0.166248651"
    ],
    [
      "0.162693224",
      "0.162693224",
      "0.162693223"
    ],
    [
      "0.47874924",
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      "0.153496565"
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    ],
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      "0.097484804"
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      "0.345453013",
      "0.909205292",
      "0.133296226"
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      "0.612045467",
      "0.909205292",
      "0.133296226"
    ],
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      "0.166248653",
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      "0.166248651"
    ],
    [
      "0.6206432",
      "0.41257506",
      "0.141893958"
    ],
    [
      "0.850687482",
      "0.935690522",
      "0.106810996"
    ],
    [
      "0.33685528",
      "0.41257506",
      "0.141893958"
    ]
  ],
  "height": "1.042501522",
  "width": "0.957498478"
}

提交 width、height，以及恰好 n 个 [x, y, r]。width + height 必须精确等于 2；所有数是最多九位小数的字符串。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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