P67 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 应用前沿 · 难

周长固定矩形内的可变半径圆 · n = 15

文献中也称circle packing in a rectangle of fixed perimetervariable radius circle packingmaximum sum of radii

在一个周长为 4、长宽均可改变的矩形内放入 n 个内部互不重叠的圆。每个圆的半径也可独立改变，使半径之和最大。

子题n = 15

目标最大化半径之和

已知最好（未证明）1.985786444Berthold、Kamp、Mexi、Pokutta 与 Polik 公开仓库中的周长 4 矩形构型；连续构型的半径和为 1.985786450240022。本站将同一构型保守量化到九位网格，可验证半径和为 1.985786444；最优性未知

严格定义

容器width>0、height>0，且 width+height=2；左下角固定为 (0,0)
提交恰好 n 个圆，每个写成 [x,y,r]，半径严格为正
约束每个圆完整位于矩形内；圆的内部两两不相交，相切允许
目标最大化所有半径的精确整数和

挑战这个纪录 ↗

1.010704109y0

123456789101112131415

0x0.989295891

已验证构造计分是全部半径之和

帮助理解

容器和货物一起优化

固定正方形时只能调整圆；这里把一点周长从高度移给宽度，会改变所有贴边圆和空隙。它是容器选型与装箱设计耦合的最小模型。

为什么不平均

相同半径通常浪费曲边之间的空隙。大圆决定矩形比例，小圆填补接触图中的孔洞；增加一个圆甚至可能令整个长宽比跳到另一种结构。

公开前沿

2026 年的公开计算项目给出了 n≤60 的完整坐标。本站从第一个非平凡实例 n=3 开始展示其可验证九位网格版本；这些是最好已知构型，不是最优性证明。

查看来源

当前第一名

1.985786444

半径之和

已追平已知最好

答案来源Timo Berthold, Dominik Kamp, Gonzalo Mexi, Sebastian Pokutta and Ilja Polik

解题方式公开参考构造

挑战这个纪录 ↗

ANSWER FORMAT

答案怎么写

矩形左下角为 (0,0)，宽为 width、高为 height；周长 2(width+height)=4。

提交 width、height，以及恰好 n 个 [x, y, r]。width + height 必须精确等于 2；所有数是最多九位小数的字符串。

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.389948709",
      "0.361368259",
      "0.140285662"
    ],
    [
      "0.55018606",
      "0.136132654",
      "0.136132653"
    ],
    [
      "0.895661452",
      "0.390062551",
      "0.093634438"
    ],
    [
      "0.512344898",
      "0.622833902",
      "0.148409868"
    ],
    [
      "0.882231023",
      "0.903639248",
      "0.107064859"
    ],
    [
      "0.12811337",
      "0.302374222",
      "0.128113369"
    ],
    [
      "0.182136626",
      "0.607884533",
      "0.182136625"
    ],
    [
      "0.824835331",
      "0.638249356",
      "0.16446056"
    ],
    [
      "0.837596682",
      "0.15169921",
      "0.151699209"
    ],
    [
      "0.366784623",
      "0.871219534",
      "0.139484573"
    ],
    [
      "0.114277546",
      "0.896426572",
      "0.114277535"
    ],
    [
      "0.295083251",
      "0.119511082",
      "0.119511081"
    ],
    [
      "0.088915042",
      "0.088915042",
      "0.088915039"
    ],
    [
      "0.641526205",
      "0.875415087",
      "0.13528902"
    ],
    [
      "0.66576624",
      "0.382911876",
      "0.136371953"
    ]
  ],
  "height": "1.010704109",
  "width": "0.989295891"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 15
}

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.389948709",
      "0.361368259",
      "0.140285662"
    ],
    [
      "0.55018606",
      "0.136132654",
      "0.136132653"
    ],
    [
      "0.895661452",
      "0.390062551",
      "0.093634438"
    ],
    [
      "0.512344898",
      "0.622833902",
      "0.148409868"
    ],
    [
      "0.882231023",
      "0.903639248",
      "0.107064859"
    ],
    [
      "0.12811337",
      "0.302374222",
      "0.128113369"
    ],
    [
      "0.182136626",
      "0.607884533",
      "0.182136625"
    ],
    [
      "0.824835331",
      "0.638249356",
      "0.16446056"
    ],
    [
      "0.837596682",
      "0.15169921",
      "0.151699209"
    ],
    [
      "0.366784623",
      "0.871219534",
      "0.139484573"
    ],
    [
      "0.114277546",
      "0.896426572",
      "0.114277535"
    ],
    [
      "0.295083251",
      "0.119511082",
      "0.119511081"
    ],
    [
      "0.088915042",
      "0.088915042",
      "0.088915039"
    ],
    [
      "0.641526205",
      "0.875415087",
      "0.13528902"
    ],
    [
      "0.66576624",
      "0.382911876",
      "0.136371953"
    ]
  ],
  "height": "1.010704109",
  "width": "0.989295891"
}

提交 width、height，以及恰好 n 个 [x, y, r]。width + height 必须精确等于 2；所有数是最多九位小数的字符串。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

聊思路、贴方法、问为什么卡住。发帖即公开署名，与纪录同一个名字；署名后的 #编号是账号的注册序号，冒不了名。发言资格与实绩绑定：破过一次纪录，就永久拥有发言权。新发言经自动审核后公开。

还没有帖子。第一个聊聊这道题的思路？