P11 · 装箱与覆盖 · 经典问题

直角三角形内的等圆装箱 · n = 4

文献中也称circles in a trianglepacking equal circles in a right triangle

在直角边分别为 1 与 0.75 的直角三角形内放置 n 个互不重叠的等圆，使它们的共同半径尽可能大。

子题n = 4

目标最大化共同半径

纪录对比

共同半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
已证明最优	5/36	NUE_13 #31	MinMax Arena ↗
本站纪录	0.138888888	Cphysics	纪录详情 ↓

连续问题已证明最优，不再接收竞赛提交。历史纪录与贡献分予以保留。由于有限小数坐标无法精确取到该无理数/分数值，不宣称当前证书为九位小数网格上的严格最优解。

严格定义

容器直角顶点位于原点 (0, 0)、两条直角边分别沿 x 轴至 (1, 0) 和沿 y 轴至 (0, 0.75) 的 3-4-5 直角三角形
提交恰好 n 个圆：一个共同半径 radius 与 n 个圆心坐标 centers
约束每个圆完全位于直角三角形内；任意两圆内部不重叠，允许相切
目标最大化共同半径 radius

阅读最优性证明 ↗

当前展示：本站纪录

0.75y0

1234

0x1

已验证构造r = 0.138888888

帮助理解

不等长锐角与非对称接触网

这个 3-4-5 直角三角形的三个内角互不相等，越窄的锐角处圆心离顶点越远、死角面积越大。当圆的半径最大化时，各圆在三条边与两个不等锐角的挤压下形成非对称的接触网络，有时还会在内部空隙留下游离圆。

文献对照与开放状态

边长为 1、0.75、1.25 的 3-4-5 直角三角形在公开文献中尚无专门的等圆装箱数值表（等腰直角三角形等近亲问题可见于 Erich Friedman 的 Packing Center）。NUE_13 #31 的证明（本站补全）确定了 n = 2、3、4 的连续最优半径 5/28、25/164、5/36，这三档保留历史纪录并封盘，不宣称九位小数网格最优；n = 5 起仍开放挑战。

查看来源

构型与历史

纪录详情

查看构型、求解笔记与纪录历史。

纪录保持者Cphysics

解题方式人工

已证明最优提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。查看已有证明 ↗

纪录保持者的求解笔记暂无求解笔记（点击展开）＋

纪录保持者暂未分享求解过程。

历史纪录（2 次易主）

Cphysics人工
0.137055354→0.138888888
2026-08-27
NUE_13人工
0.1→0.137055354
2026-08-26

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是直角三角形：直角顶点就是原点 (0, 0)，一条直角边沿 x 轴到 (1, 0)，另一条沿 y 轴到 (0, 0.75)，斜边连接这两点。坐标和长度用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.15"，最多九位小数。

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.15"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "0.138888889",
      "0.472222222"
    ],
    [
      "0.138888889",
      "0.138888889"
    ],
    [
      "0.361111111",
      "0.305555556"
    ],
    [
      "0.583333333",
      "0.138888889"
    ]
  ],
  "radius": "0.138888888"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 4
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "0.138888889",
      "0.472222222"
    ],
    [
      "0.138888889",
      "0.138888889"
    ],
    [
      "0.361111111",
      "0.305555556"
    ],
    [
      "0.583333333",
      "0.138888889"
    ]
  ],
  "radius": "0.138888888"
}

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.15"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

本题n=2、3、4已达最优的证明NUE_13#312 条回复10 天前