P11 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 中

直角三角形内的等圆装箱 · n = 8

文献中也称circles in a trianglepacking equal circles in a right triangle

在直角边分别为 1 与 0.75 的直角三角形内放置 n 个互不重叠的等圆，使它们的共同半径尽可能大。

子题n = 8

目标最大化共同半径

纪录对比

共同半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	—	—	暂无收录
本站纪录	0.101157877	邱仲普	纪录详情 ↓

严格定义

容器直角顶点位于原点 (0, 0)、两条直角边分别沿 x 轴至 (1, 0) 和沿 y 轴至 (0, 0.75) 的 3-4-5 直角三角形
提交恰好 n 个圆：一个共同半径 radius 与 n 个圆心坐标 centers
约束每个圆完全位于直角三角形内；任意两圆内部不重叠，允许相切
目标最大化共同半径 radius

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当前展示：本站纪录

0.75y0

12345678

0x1

已验证构造r = 0.101157877

帮助理解

不等长锐角与非对称接触网

这个 3-4-5 直角三角形的三个内角互不相等，越窄的锐角处圆心离顶点越远、死角面积越大。当圆的半径最大化时，各圆在三条边与两个不等锐角的挤压下形成非对称的接触网络，有时还会在内部空隙留下游离圆。

文献对照与开放状态

边长为 1、0.75、1.25 的 3-4-5 直角三角形在公开文献中尚无专门的等圆装箱数值表（等腰直角三角形等近亲问题可见于 Erich Friedman 的 Packing Center）。NUE_13 #31 的证明（本站补全）确定了 n = 2、3、4 的连续最优半径 5/28、25/164、5/36，这三档保留历史纪录并封盘，不宣称九位小数网格最优；n = 5 起仍开放挑战。

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构型与历史

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纪录保持者邱仲普

解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3

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纪录保持者的求解笔记暂无求解笔记（点击展开）＋

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历史纪录（11 次易主）

邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
0.101→0.101157877
2026-09-01
HwaterB人工
0.1008→0.101
2026-08-31
HwaterB人工
0.10075→0.1008
2026-08-31
HwaterB人工
0.10074→0.10075
2026-08-31
Cphysics人工
0.100692002→0.10074
2026-08-27
NUE_13人工
0.100502002→0.100692002
2026-08-27
lird人工
0.1005→0.100502002
2026-08-27
Cphysics人工
0.099325864→0.1005
2026-08-27
Cphysics人工
0.099140054→0.099325864
2026-08-27
lird人工
0.098722954→0.099140054
2026-08-27
NUE_13人工
0.055555555→0.098722954
2026-08-27

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是直角三角形：直角顶点就是原点 (0, 0)，一条直角边沿 x 轴到 (1, 0)，另一条沿 y 轴到 (0, 0.75)，斜边连接这两点。坐标和长度用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.15"，最多九位小数。

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.15"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "0.101294913",
      "0.305702800"
    ],
    [
      "0.101157878",
      "0.101157878"
    ],
    [
      "0.271509899",
      "0.415058027"
    ],
    [
      "0.297684244",
      "0.149210477"
    ],
    [
      "0.101435452",
      "0.544919957"
    ],
    [
      "0.437562199",
      "0.295381003"
    ],
    [
      "0.494210611",
      "0.101157878"
    ],
    [
      "0.696526366",
      "0.101157878"
    ]
  ],
  "radius": "0.101157877"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 8
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "0.101294913",
      "0.305702800"
    ],
    [
      "0.101157878",
      "0.101157878"
    ],
    [
      "0.271509899",
      "0.415058027"
    ],
    [
      "0.297684244",
      "0.149210477"
    ],
    [
      "0.101435452",
      "0.544919957"
    ],
    [
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      "0.295381003"
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    [
      "0.494210611",
      "0.101157878"
    ],
    [
      "0.696526366",
      "0.101157878"
    ]
  ],
  "radius": "0.101157877"
}

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.15"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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本题n=2、3、4已达最优的证明NUE_13#312 条回复10 天前