P89 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等腰直角三角形装入正方形 · n = 12

把 n 个直角边为 1 的等腰直角三角形（七巧板的小三角形）装入正方形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器正方形边长。

子题n = 12

目标最小化容器正方形边长

纪录对比

容器正方形边长 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[2.61005, 2.61006)	Joshua Wolk2026-09	Erich Friedman ↗
本站纪录	2.610054856	邱仲普	纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

容器编辑器与证书将容器统一归一化为单位正方形 [0,1]²；公开得分按文献的单位直角边长规范折算。允许接触边界。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn,quarter},…]}，其中 x、y、turn 为最多九位小数的十进制字符串。radius 为单位正方形容器内零件的直角边长，对应容器正方形边长 = 1/radius。x、y 为零件轴对齐外接框的中心；quarter 为 0–3 的整数，表示先绕中心旋转 quarter 个直角，再旋转由 turn = tan(θ/2) 给出的有理角。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个全等图形完全位于容器内，任意两图形内部互不重叠。每个图形允许任意角度独立旋转。
精度输入的十进制小数按精确有理数解析，可行性检验不设浮点容差。
目标容器正方形边长 = 1/r（其中 r 为零件直角边在单位正方形容器内的长度），越小越好。页面、排行榜与文献纪录统一使用该单位并自动换算。

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文献来源与坐标证书

文献目标值按原始发表精度换算，九位小数坐标证书单独存储并与文献目标对照展示。

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纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（4 次易主）

邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
2.610054869→2.610054856
2026-10-08
邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
2.610054883→2.610054869
2026-10-08
zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
2.610324348→2.610054883
2026-10-05
NUE_13人工
2.611150004→2.610324348
2026-10-03

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位正方形 [0,1]²

提交 {radius, placements:[{x,y,turn,quarter},…]}，其中 x、y、turn 为最多九位小数的十进制字符串。radius 为单位正方形容器内零件的直角边长，对应容器正方形边长 = 1/radius。x、y 为零件轴对齐外接框的中心；quarter 为 0–3 的整数，表示先绕中心旋转 quarter 个直角，再旋转由 turn = tan(θ/2) 给出的有理角。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "quarter": 1,
      "turn": "0.000724703",
      "x": "0.808155688",
      "y": "0.734232489"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.191566856",
      "y": "0.191566856"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "0.414213195",
      "x": "0.311043642",
      "y": "0.959872996"
    },
    {
      "quarter": 1,
      "turn": "0.414213575",
      "x": "0.000000006",
      "y": "0.729083555"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "-0.414213549",
      "x": "0.270916445",
      "y": "0.458167104"
    },
    {
      "quarter": 3,
      "turn": "0.414213552",
      "x": "0.999999414",
      "y": "0.270917757"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.729083555",
      "y": "0.000000001"
    },
    {
      "quarter": 3,
      "turn": "0.013776966",
      "x": "0.467688009",
      "y": "0.395175310"
    },
    {
      "quarter": 1,
      "turn": "0.013776966",
      "x": "0.420650411",
      "y": "0.345471598"
    },
    {
      "quarter": 3,
      "turn": "0.048639191",
      "x": "0.827928743",
      "y": "0.790746081"
    },
    {
      "quarter": 1,
      "turn": "0.048784795",
      "x": "0.442926900",
      "y": "0.790695943"
    },
    {
      "quarter": 3,
      "turn": "0.000724676",
      "x": "0.808710984",
      "y": "0.351099170"
    }
  ],
  "radius": "0.383133710"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 12,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "quarter": 1,
      "turn": "0.000724703",
      "x": "0.808155688",
      "y": "0.734232489"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.191566856",
      "y": "0.191566856"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "0.414213195",
      "x": "0.311043642",
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    },
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      "quarter": 1,
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      "x": "0.000000006",
      "y": "0.729083555"
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    {
      "quarter": 0,
      "turn": "-0.414213549",
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    },
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      "quarter": 3,
      "turn": "0.414213552",
      "x": "0.999999414",
      "y": "0.270917757"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.729083555",
      "y": "0.000000001"
    },
    {
      "quarter": 3,
      "turn": "0.013776966",
      "x": "0.467688009",
      "y": "0.395175310"
    },
    {
      "quarter": 1,
      "turn": "0.013776966",
      "x": "0.420650411",
      "y": "0.345471598"
    },
    {
      "quarter": 3,
      "turn": "0.048639191",
      "x": "0.827928743",
      "y": "0.790746081"
    },
    {
      "quarter": 1,
      "turn": "0.048784795",
      "x": "0.442926900",
      "y": "0.790695943"
    },
    {
      "quarter": 3,
      "turn": "0.000724676",
      "x": "0.808710984",
      "y": "0.351099170"
    }
  ],
  "radius": "0.383133710"
}

DISCUSSION

讨论区

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n=4,8,16,18时的最优解证明😰#1064 条回复32 天前 本题n=4、8、16、18时的最优解NUE_13#310 条回复39 天前 外部记录更新（9.23更新）NUE_13#310 条回复39 天前 best value at n=1😰#1061 条回复42 天前