P89 · 装箱与覆盖 · 经典问题

等腰直角三角形装入正方形 · n = 4

把 n 个直角边为 1 的等腰直角三角形（七巧板的小三角形）装入正方形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器正方形边长。

子题n = 4

目标最小化容器正方形边长

纪录对比

容器正方形边长 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
已证明最优	√2	NUE_13 #31	MinMax Arena ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

连续问题已证明最优，不再接收竞赛提交。历史纪录与贡献分予以保留。由于有限小数坐标无法精确取到该无理数/分数值，不宣称当前证书为九位小数网格上的严格最优解。

严格定义

容器编辑器与证书将容器统一归一化为单位正方形 [0,1]²；公开得分按文献的单位直角边长规范折算。允许接触边界。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn,quarter},…]}，其中 x、y、turn 为最多九位小数的十进制字符串。radius 为单位正方形容器内零件的直角边长，对应容器正方形边长 = 1/radius。x、y 为零件轴对齐外接框的中心；quarter 为 0–3 的整数，表示先绕中心旋转 quarter 个直角，再旋转由 turn = tan(θ/2) 给出的有理角。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个全等图形完全位于容器内，任意两图形内部互不重叠。每个图形允许任意角度独立旋转。
精度输入的十进制小数按精确有理数解析，可行性检验不设浮点容差。
目标容器正方形边长 = 1/r（其中 r 为零件直角边在单位正方形容器内的长度），越小越好。页面、排行榜与文献纪录统一使用该单位并自动换算。

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帮助理解

文献来源与坐标证书

文献目标值按原始发表精度换算，九位小数坐标证书单独存储并与文献目标对照展示。

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位正方形 [0,1]²

提交 {radius, placements:[{x,y,turn,quarter},…]}，其中 x、y、turn 为最多九位小数的十进制字符串。radius 为单位正方形容器内零件的直角边长，对应容器正方形边长 = 1/radius。x、y 为零件轴对齐外接框的中心；quarter 为 0–3 的整数，表示先绕中心旋转 quarter 个直角，再旋转由 turn = tan(θ/2) 给出的有理角。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "quarter": 3,
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.500000000",
      "y": "0.000000020"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.999999980",
      "y": "0.500000000"
    },
    {
      "quarter": 1,
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.500000000",
      "y": "0.999999980"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.000000020",
      "y": "0.500000000"
    }
  ],
  "radius": "0.707106752"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 4,
  "sides": 5
}

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "quarter": 3,
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.500000000",
      "y": "0.000000020"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.999999980",
      "y": "0.500000000"
    },
    {
      "quarter": 1,
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.500000000",
      "y": "0.999999980"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.000000020",
      "y": "0.500000000"
    }
  ],
  "radius": "0.707106752"
}

DISCUSSION

讨论区

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n=4,8,16,18时的最优解证明😰#1064 条回复32 天前 本题n=4、8、16、18时的最优解NUE_13#310 条回复39 天前 外部记录更新（9.23更新）NUE_13#310 条回复39 天前 best value at n=1😰#1061 条回复42 天前