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P09 · 装箱与覆盖 · 经典问题

等圆装入半圆

1y0
0x2
已验证构造r = 0.240253073
n = 6当前纪录 · 打开子题

在半径为 1 的半圆内放置 n 个半径相同、互不重叠的圆，使它们的共同半径尽可能大。

严格定义

  • 容器半径为 1 的上半圆：底边直径沿 y = 0 从 (0, 0) 到 (2, 0)，圆心在 (1, 0)，圆弧位于 y ≥ 0 一侧
  • 提交恰好 n 个圆：一个共同半径 radius 与 n 个圆心坐标 centers
  • 约束每个圆完全位于半圆内；任意两圆内部不重叠，允许相切
  • 目标最大化共同半径 radius

帮助理解

直边与圆弧的混合边界

半圆容器同时具有平直的底边直径、上方的圆弧以及左右两个 90° 尖角。最优构型通常需要兼顾沿底边的线性排列与贴合圆弧的拱形层，各圆通过彼此相切及接触边界形成刚性结构，个别规模下也会出现局部可微移的游离圆。

文献对照与开放前沿

半圆内等圆装箱的已知最优数值取自 Eckard Specht 在 Packomania 维护的 csc 汇总表。该表尚未将任何规模标记为已证明最优，因此本站收录的 14 个规模目前全部处于开放状态。

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逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

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n3
当前纪录0.333333333已知最好 0.333333333
已追平已知最好
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n4
当前纪录0.276768653已知最好 0.276768653
已追平已知最好
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n5
当前纪录0.261203874已知最好 0.261203874
已追平已知最好
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n6
当前纪录0.240253073已知最好 [0.2402530725, 0.2402530735]
已追平已知最好
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n7
当前纪录0.229142727已知最好 0.229142727
已追平已知最好
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n8
当前纪录0.205604646已知最好 0.205604646
已追平已知最好
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n9
当前纪录0.205604646已知最好 0.205604646
已追平已知最好
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n10
当前纪录0.188262725已知最好 [0.1882627245, 0.1882627255]
已追平已知最好
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n11
当前纪录0.180813296已知最好 0.180813296
已追平已知最好
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n12
当前纪录0.174492345已知最好 [0.1744923455, 0.1744923465]
难
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n13
当前纪录0.166736205已知最好 0.166736205
已追平已知最好
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n14
当前纪录0.163481073已知最好 [0.1634810725, 0.1634810735]
已追平已知最好
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n15
当前纪录0.158625813已知最好 [0.1586258125, 0.1586258135]
已追平已知最好
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n16
当前纪录0.151911224已知最好 [0.1519112235, 0.1519112245]
已追平已知最好
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

GET https://minmaxarena.com/data/circles-in-a-semicircle.json

引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/circles-in-a-semicircle.json
BibTeX（点击复制）
@misc{minmaxarena-circles-in-a-semicircle-2026-10,
  title  = {{Equal circles in a half-disc} (P09)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/circles-in-a-semicircle.json},
  license = {CC BY 4.0}
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