P09 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等圆装入半圆 · n = 10

在半径为 1 的半圆内放置 n 个半径相同、互不重叠的圆，使它们的共同半径尽可能大。

子题n = 10

目标最大化共同半径

纪录对比

共同半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.1882627245, 0.1882627255]	见来源署名	web.archive.org ↗
本站纪录	0.188262725	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

容器半径为 1 的上半圆：底边直径沿 y = 0 从 (0, 0) 到 (2, 0)，圆心在 (1, 0)，圆弧位于 y ≥ 0 一侧
提交恰好 n 个圆：一个共同半径 radius 与 n 个圆心坐标 centers
约束每个圆完全位于半圆内；任意两圆内部不重叠，允许相切
目标最大化共同半径 radius

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当前展示：本站纪录

1y0

12345678910

0x2

已验证构造r = 0.188262725

帮助理解

直边与圆弧的混合边界

半圆容器同时具有平直的底边直径、上方的圆弧以及左右两个 90° 尖角。最优构型通常需要兼顾沿底边的线性排列与贴合圆弧的拱形层，各圆通过彼此相切及接触边界形成刚性结构，个别规模下也会出现局部可微移的游离圆。

文献对照与开放前沿

半圆内等圆装箱的已知最优数值取自 Eckard Specht 在 Packomania 维护的 csc 汇总表。该表尚未将任何规模标记为已证明最优，因此本站收录的 14 个规模目前全部处于开放状态。

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构型与历史

纪录详情

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（1 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.188262724→0.188262725
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的半圆：直径落在 y = 0 上，从 (0, 0) 到 (2, 0)，圆心在 (1, 0)，弧在上方。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.25"，最多九位小数。

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.25"）。所有圆共用同一个半径。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "0.756811109",
      "0.524281925"
    ],
    [
      "1.000000000",
      "0.811737275"
    ],
    [
      "0.210395954",
      "0.188262726"
    ],
    [
      "1.619714341",
      "0.524281926"
    ],
    [
      "1.243188891",
      "0.524281925"
    ],
    [
      "0.586921404",
      "0.188262725"
    ],
    [
      "1.789604046",
      "0.188262726"
    ],
    [
      "1.413078596",
      "0.188262725"
    ],
    [
      "1.022199900",
      "0.188262918"
    ],
    [
      "0.380285659",
      "0.524281926"
    ]
  ],
  "radius": "0.188262725"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 10
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "0.756811109",
      "0.524281925"
    ],
    [
      "1.000000000",
      "0.811737275"
    ],
    [
      "0.210395954",
      "0.188262726"
    ],
    [
      "1.619714341",
      "0.524281926"
    ],
    [
      "1.243188891",
      "0.524281925"
    ],
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      "0.586921404",
      "0.188262725"
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      "0.188262725"
    ],
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      "1.022199900",
      "0.188262918"
    ],
    [
      "0.380285659",
      "0.524281926"
    ]
  ],
  "radius": "0.188262725"
}

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.25"）。所有圆共用同一个半径。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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