P08 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等圆装入 L 形 · n = 14

在 L 形区域内放置 n 个半径相同、互不重叠的圆，使它们的共同半径尽可能大。

子题n = 14

目标最大化共同半径

纪录对比

共同半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	0.220143093010456796917997	David W. Cantrell2006-01	Erich Friedman ↗
本站纪录	0.220121448	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

本站纪录尚未确认达到或超越此参考纪录。

严格定义

容器由边长为 2 的正方形 [0, 2] × [0, 2] 挖去右上角 (1, 2] × (1, 2] 构成的 L 形区域，左下角为原点 (0, 0)
提交恰好 n 个圆：一个共同半径 radius 与 n 个圆心坐标 centers
约束每个圆完全位于 L 形区域内（包括避开内凹顶点 (1, 1) 及缺口边界）；任意两圆内部不重叠，允许相切
目标最大化共同半径 radius

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当前展示：本站纪录

2y0

1234567891011121314

0x2

已验证构造r = 0.220121448

帮助理解

凹角约束与接触结构

L 形区域由三个 1 × 1 方格拼成，拐角处的内凹顶点 (1, 1) 会限制圆在两翼之间的过渡。当共同半径最大化时，各圆与外边界、凹角顶点以及相邻圆相切形成刚性接触网，两翼与拐角方格的圆数分配直接影响整体上界。

文献对照与已知证明

Erich Friedman 的 Circles in L's 汇总表记录了自 2005 年以来的外部构造与作者。原表固定圆半径为 1 并最小化 L 形长边 s；本站固定长边为 2，故共同半径按 r = 2/s 换算。其中 n = 4 已由本站完成最优性证明并封盘，n = 5–18 分别展示外部文献目标与站内当前纪录。

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构型与历史

纪录详情

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（4 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.220091754→0.220121448
2026-09-02
HwaterB人工
0.220000001→0.220091754
2026-08-30
HwaterB人工
0.22→0.220000001
2026-08-30
Cphysics人工
0.071428571→0.22
2026-08-27

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 2 的正方形挖掉右上角那块 1×1：左下角是原点 (0, 0)，缺口是 x 与 y 同时大于 1 的那一块。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.25"，最多九位小数。

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.25"）。所有圆共用同一个半径。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "0.220121449",
      "1.779878551"
    ],
    [
      "0.779878551",
      "1.779878551"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "1.440052412"
    ],
    [
      "0.220121449",
      "1.100226272"
    ],
    [
      "0.660173860",
      "0.233070723"
    ],
    [
      "0.673123135",
      "0.673123135"
    ],
    [
      "0.220121449",
      "0.220121449"
    ],
    [
      "0.779878551",
      "1.100226272"
    ],
    [
      "1.440052412",
      "0.500000000"
    ],
    [
      "1.100226272",
      "0.220121449"
    ],
    [
      "0.233070723",
      "0.660173860"
    ],
    [
      "1.100226272",
      "0.779878551"
    ],
    [
      "1.779878551",
      "0.220121449"
    ],
    [
      "1.779878551",
      "0.779878551"
    ]
  ],
  "radius": "0.220121448"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 14
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "0.220121449",
      "1.779878551"
    ],
    [
      "0.779878551",
      "1.779878551"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "1.440052412"
    ],
    [
      "0.220121449",
      "1.100226272"
    ],
    [
      "0.660173860",
      "0.233070723"
    ],
    [
      "0.673123135",
      "0.673123135"
    ],
    [
      "0.220121449",
      "0.220121449"
    ],
    [
      "0.779878551",
      "1.100226272"
    ],
    [
      "1.440052412",
      "0.500000000"
    ],
    [
      "1.100226272",
      "0.220121449"
    ],
    [
      "0.233070723",
      "0.660173860"
    ],
    [
      "1.100226272",
      "0.779878551"
    ],
    [
      "1.779878551",
      "0.220121449"
    ],
    [
      "1.779878551",
      "0.779878551"
    ]
  ],
  "radius": "0.220121448"
}

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.25"）。所有圆共用同一个半径。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

本题n=8时的证明（抽屉原理）NUE_13#314 条回复10 天前 问题等价，有外部记录NUE_13#311 条回复45 天前 问题等价，有外部记录NUE_13#311 条回复46 天前