P08 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等圆装入 L 形 · n = 18

在 L 形区域内放置 n 个半径相同、互不重叠的圆，使它们的共同半径尽可能大。

子题n = 18

目标最大化共同半径

纪录对比

共同半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	0.19466842127803711937457	Tej Stead2026-06	Erich Friedman ↗
本站纪录	0.194668325	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

本站纪录尚未确认达到或超越此参考纪录。

严格定义

容器由边长为 2 的正方形 [0, 2] × [0, 2] 挖去右上角 (1, 2] × (1, 2] 构成的 L 形区域，左下角为原点 (0, 0)
提交恰好 n 个圆：一个共同半径 radius 与 n 个圆心坐标 centers
约束每个圆完全位于 L 形区域内（包括避开内凹顶点 (1, 1) 及缺口边界）；任意两圆内部不重叠，允许相切
目标最大化共同半径 radius

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当前展示：本站纪录

2y0

123456789101112131415161718

0x2

已验证构造r = 0.194668325

帮助理解

凹角约束与接触结构

L 形区域由三个 1 × 1 方格拼成，拐角处的内凹顶点 (1, 1) 会限制圆在两翼之间的过渡。当共同半径最大化时，各圆与外边界、凹角顶点以及相邻圆相切形成刚性接触网，两翼与拐角方格的圆数分配直接影响整体上界。

文献对照与已知证明

Erich Friedman 的 Circles in L's 汇总表记录了自 2005 年以来的外部构造与作者。原表固定圆半径为 1 并最小化 L 形长边 s；本站固定长边为 2，故共同半径按 r = 2/s 换算。其中 n = 4 已由本站完成最优性证明并封盘，n = 5–18 分别展示外部文献目标与站内当前纪录。

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构型与历史

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（3 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.194535719→0.194668325
2026-09-02
邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
0.1945→0.194535719
2026-09-01
Cphysics人工
0.055555555→0.1945
2026-08-27

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 2 的正方形挖掉右上角那块 1×1：左下角是原点 (0, 0)，缺口是 x 与 y 同时大于 1 的那一块。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.25"，最多九位小数。

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.25"）。所有圆共用同一个半径。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "0.500000000",
      "1.563762644"
    ],
    [
      "1.267505240",
      "0.194668325"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "1.080624584"
    ],
    [
      "0.542979005",
      "0.637549146"
    ],
    [
      "0.194668325",
      "0.449718903"
    ],
    [
      "0.805331675",
      "1.805331675"
    ],
    [
      "0.194668325",
      "1.805331675"
    ],
    [
      "0.839438087",
      "0.889928982"
    ],
    [
      "0.194668325",
      "0.839055554"
    ],
    [
      "0.878168589",
      "0.194668325"
    ],
    [
      "1.328414967",
      "0.805331675"
    ],
    [
      "0.805331675",
      "1.322193614"
    ],
    [
      "1.800624666",
      "0.762184570"
    ],
    [
      "0.488831938",
      "0.194668325"
    ],
    [
      "0.194668325",
      "1.322193614"
    ],
    [
      "1.805331675",
      "0.194668325"
    ],
    [
      "1.032778176",
      "0.551990174"
    ],
    [
      "1.536418457",
      "0.476215319"
    ]
  ],
  "radius": "0.194668325"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 18
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "0.500000000",
      "1.563762644"
    ],
    [
      "1.267505240",
      "0.194668325"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "1.080624584"
    ],
    [
      "0.542979005",
      "0.637549146"
    ],
    [
      "0.194668325",
      "0.449718903"
    ],
    [
      "0.805331675",
      "1.805331675"
    ],
    [
      "0.194668325",
      "1.805331675"
    ],
    [
      "0.839438087",
      "0.889928982"
    ],
    [
      "0.194668325",
      "0.839055554"
    ],
    [
      "0.878168589",
      "0.194668325"
    ],
    [
      "1.328414967",
      "0.805331675"
    ],
    [
      "0.805331675",
      "1.322193614"
    ],
    [
      "1.800624666",
      "0.762184570"
    ],
    [
      "0.488831938",
      "0.194668325"
    ],
    [
      "0.194668325",
      "1.322193614"
    ],
    [
      "1.805331675",
      "0.194668325"
    ],
    [
      "1.032778176",
      "0.551990174"
    ],
    [
      "1.536418457",
      "0.476215319"
    ]
  ],
  "radius": "0.194668325"
}

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.25"）。所有圆共用同一个半径。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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本题n=8时的证明（抽屉原理）NUE_13#314 条回复10 天前 问题等价，有外部记录NUE_13#311 条回复45 天前 问题等价，有外部记录NUE_13#311 条回复45 天前